8.4.1 平面(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.4.1　平　面(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解基本事实1～3和确定平面的推论，掌握平面的画法及表示方法． (一)平面 1．平面的画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向． 2．平面的表示方法 (1)用希腊字母α、β、γ等表示平面，如平面α，平面β，平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内． (2)用代表平面的平行四边形的四个顶点作为这个平面的名称，如平面ABCD. (3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点表示的大写字母作为这个平面的名称，如平面AC或者平面BD. [基点训练] 1．下列说法正确的是(　 ) A．镜面是一个平面 B．一个平面长10 m，宽5 m C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D．所有的平面都是无限延展的 解析：选D　镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D. 2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　 ) A．平面MN B．平面NQP C．平面α D．平面MNPQ 解析：选A　表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.故选A. (二)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α 续表 文字语言 符号语言 图形语言 l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 微点助解 从集合的角度理解点、直线、平面 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示． [基点训练] 1．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为(　 ) A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P C．P∈a，P∉α D．P∈a，a⊂α 解析：选C　由于点P在平面α外，所以有P∉α.又直线a经过点P，所以P∈a.故选C. 2.根据图形填入相应的符号： A________平面ABC，A______平面BCD，BD________平面ABD，BD________平面ACD，BD∩平面ACD＝________. 解析：由题图可知点A在平面ABC内，不在平面BCD内，直线BD在平面ABD内，不在平面ACD内，直线BD与平面ACD相交于点D，即A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD⊂平面ABD，BD⊄平面ACD，BD∩平面ACD＝D. 答案：∈　∉　⊂　⊄　D (三)平面的基本性质及作用 1．基本事实 项目 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上 2．平面的基本事实的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 微点助解 准确认识三个基本事实的意义和作用 (1)要注意基本事实1的条件“不在一条直线上的三个点”，事实上，同一直线上的三个点不能确定一个平面． (2)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线上有两个点属于一个平面，那么这条直线就是这个平面的真子集．即整条直线在平面内． (3)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两平面共有一点”，就有“两平面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的． [基点训练] 1．下列图形中，不一定是平面图形的是(　 ) A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四条边相等的四边形 解析：选D