8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第 1 课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． 2．能用表面积与体积公式求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，且会求组合体的表面积与体积． (一)圆柱、圆锥、圆台的表面积 名称 公式 圆柱 S圆柱＝2πrl＋2πr2(r是底面半径，l是母线长) 圆锥 S圆锥＝πrl＋πr2(r是底面半径，l是母线长) 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长) 微点助解 (1)准确认识圆柱、圆锥、圆台的展开图 名称 侧面展开图 底面 表面积 圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积＋底面积 圆锥 扇形 一个圆 圆台 扇环 两个同心圆 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 [基点训练] 1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于(　 ) A．15 B．15π C．24π D．30π 解析：选B　S侧＝πrl＝15π.故选B. 2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　 ) A．72 B．42π C．67π D．72π 解析：选C　S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.故选C. 3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________． 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π. 答案：6π (二)圆柱、圆锥、圆台的体积 名称 公式 圆柱 V＝πr2h(r是底面半径，h是高) 圆锥 V＝πr2h(r是底面半径，h是高) 圆台 V＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高) 微点助解 对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 (2)柱体、锥体、台体的体积公式可统一如下： V柱体＝Sh；V锥体＝Sh(S为底面积，h为高)；V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)． [基点训练] 1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A　由题意，得V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，所以h＝3. 2．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由题意，得圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝π×32×4＝12π. 答案：12π 3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________. 解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为. 答案： 题型(一)　圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积 [典例1]　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为______． (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． [解析]　(1)设母线长为l，由题意得l·lsin 60°＝，所以母线长l＝2.又底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π. (2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8. 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. [答案]　(1)2π　(2)168π [方法技巧] 求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． [提醒]　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图． [针对训练] 1．已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，所以圆锥的高为r，母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·r＝4πr2，圆锥的表面积为·2πr·r＋πr2＝(＋1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为＝.故选A. 2．如图，将一个圆柱2n(n∈N＋)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为____________． 解析：显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积．设圆柱的底面半径为r，高为h，则2