7.2.2 复数的乘、除运算(概念课—逐点理清式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算(概念课—逐点理清式教学) 1.掌握复数的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．掌握在复数范围内解方程的方法． 逐点清(一)　复数乘法的运算法则 [多维度理解] 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 微点助解 对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． (2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． (3)常用结论 ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. [细微点练明] 1．复数(3＋2i)i等于(　 ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 解析：选B　(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，故选B. 2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　 ) A．5 B. C．3 D. 解析：选A　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A. 4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选B　由题意，得z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B. 5．已知复数z1＝1－2i，z2＝1＋bi，若z1·z2＝7－i，则实数b＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．－1 解析：选C　因为z1·z2＝z1·z2＝(1＋2i)(1－bi)＝1＋2b＋(2－b)i＝7－i，所以1＋2b＝7,2－b＝－1，解得b＝3.故选C. 逐点清(二)　复数除法的运算法则 [多维度理解] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. 复数的除法的实质是分母“实数化”．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子与分母都乘分母的共轭复数． 微点助解 (1)对复数除法的两点说明 ①实数化：分子、分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． ②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化． (2)常用公式 ①＝－i；②＝i；③＝－i. [细微点练明] 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　 ) A．－i B．i C．0 D．1 解析：选A　因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i.故选A. 2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　 ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：选A　∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i. 3．(2023·全国甲卷)＝(　 ) A．－1 B．1 C．1－i D．1＋i 解析：选C　由题意知，＝＝＝1－i，故选C. 4．(多选)已知复数z满足＝2＋i，则(　 ) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z在复平面内对应的点在第四象限 D．z6＝－8i 解析：选ABD　因为＝2＋i，所以1－＝2＋i，所以z＝＝＝＝－1－i，z的虚部为－1，故A正确；|z|＝＝，故B正确；z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－1)，在第三象限，故C错误；因为z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，所以z6＝(z2)3＝(2i)3＝－8i，故D正确． 5．已知复数z满足z(3＋i)＝3＋i2 023，则z的共轭复数的虚部为(　 ) A．－i B.i C．－ D. 解析：选D　由z(3＋i)＝3＋i2 023，得z＝＝＝＝－i，所以＝＋i，所以z的共轭复数