7.1.2 复数的几何意义(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义(强基课—梯度进阶式教学) 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2．理解共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数． 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题． (一)复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 微点助解 复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)复数的实质是有序实数对．复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点，否则不能建立一一对应关系． (2)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示． (3)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数． (4)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． [基点训练] 1．已知复数z＝－i，则复平面内对应点Z的坐标为(　 ) A．(0，－1) B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 解析：选A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A. 2．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　 ) A．0 B．－3 C．－3i D．3 解析：选C　由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.故选C. 3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　 ) A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1 C．a＝2或a＝0 D．a＝0 解析：选C　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.故选C. (二)复数的模和共轭复数 1．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝. (4)模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 微点助解 对复数模的理解 (1)从数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小． (2)从几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离． |z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离． 2．共轭复数 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. (3)性质：①()＝z. ②实数的共轭复数是它本身，即 ＝z⇔z∈R. [基点训练] 1．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是(　 ) A．5 B. C．6 D. 解析：选D　|z|＝＝. 2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　 ) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析：选A　依题意可得 ＝2，解得m＝1或m＝3，故选A. 3．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数 等于(　 ) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 解析：选B　因为复数z＝－2＋i，所以复数z的共轭复数 ＝－2－i. 题型(一)　复数与复平面内点的关系 [典例1]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点： (1)位于第二象限； (2)位于实轴上方； (3)位于直线y＝x上． [解]　根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． (1)由点Z位于第二象限得解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． (2)由点Z位于实轴上方得a2－3a＋2>0， 解得a>2或a<1，故满足条件的实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)． (3)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1. [方法技巧] 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． [提醒]　复数与复平面内