7.1.1 数系的扩充和复数的概念(概念课—逐点理清式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第七章 复数 7.1.1　数系的扩充和复数的概念(概念课—逐点理清式教学) 1.了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数． 2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部． 3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系． 逐点清(一)　复数的概念及复数集 [多维度理解] 1．复数的定义及表示方法 定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1 表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部 2．复数集的定义及表示 全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．通常用大写字母C表示． 微点助解 (1)虚数单位i性质的关注点 i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i但不能说i＝±. (2)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)复数的虚部是实数b而非bi. (4)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是． [细微点练明] 1．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是(　 ) A．3－i B．3＋i C．－1＋4i 　D．1＋3i 答案：C 2．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　 ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：选C　复数z1＝1＋3i的实部为1.复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1. 3．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是(　 ) A．7－5i B．－＋i C．5＋i D.＋i 解析：选A　设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知复数－＋7i的虚部为7，所以a＝7.复数i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5，故z＝7－5i. 4．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． 解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 答案：1或－3 逐点清(二)　复数的分类 [多维度理解] 1．复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R) (1)z为实数⇔b＝0； (2)z为虚数⇔b≠0； (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 2．集合表示 微点助解 (1)两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系． (2)复数分类问题的求解方法与步骤 ①化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． ②定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． ③下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： z为实数⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件． [细微点练明] 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　 ) A．1 B．2 C．－1或－2 D．1或2 解析：选B　由得a＝2，故选B. 2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　 ) A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≤0 解析：选D　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0. 3．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________． 解析：由z1>z2，得 即解得a＝0. 答案：0 4．当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是：(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 解：(1)当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (3)当即m＝5时，z是实数． 逐点清(三)　复数相等 [多维度理解] 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 微点助解 (1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． [细微点练明] 1．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值