6.4 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 4 课时余弦定理、正弦定理应用举例 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．认识实际测量中的有关名称和术语． 2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 1．基线的概念与选择原则 (1)定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质：在测量过程中，为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中的有关概念 (1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°. (2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，图1中表示北偏东30°，图2中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图3所示． (4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角． (5)坡角与坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝＝tan α. 题型(一)　测量距离问题 [典例1]　如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 　 [解]　由正弦定理得 AC＝ ＝＝＝10(1＋)(m)， BC＝＝＝20(m)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB＝＝10(m)． ∴A，B两点间的距离为10 m. [方法技巧] 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． [针对训练] 1.如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD是15(＋1)，则此时峡谷的宽度BC是(　 ) A．60　 B．60(＋1)　 C．30　 D．30(＋1) 解析：选A　由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，∴CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，∴BC＝CD－BD＝60.故选A. 题型(二)　测量高度问题 [典例2]　如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD. [解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°， 所以CD＝AD. 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由＝， 得AD＝＝＝800(＋1)(m)． 即山的高度为800(＋1)m. [方法技巧] 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． [针对训练] 2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得＝. ∴BC＝＝. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝. 题型(三)　测量角度问题 [典例3]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. [解析]　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得DF＝＝＝10(m)， DE＝＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m)． 在△DEF中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝ ＝＝－. [答案]　－ [方法技巧] (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题． (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量． [针对训练]