6.4 第3课时 正弦定理(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 3 课时　正弦定理(深化课—题型研究式教学)　 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 1．正弦定理 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. 3．三角形面积公式 (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． 微点助解 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [典例1]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c. [解]　由已知，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由＝，得c＝＝ ＝＝4(＋1)． 所以A＝45°，c＝4(＋1)． [方法技巧] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． [针对训练] 1．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是(　 ) A．4 B．12 C．4 D．12 解析：选D　若设120°角所对的边长为x，则由正弦定理可得＝，于是x＝＝＝12，故选D. 2．在△ABC中，若B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为(　 ) A．5 B．4 C．5 D．4 解析：选C　根据题意得A＝180°－135°－15°＝30°，则此三角形的最大边是b，由正弦定理＝，得b＝＝＝5. 题型(二)　已知两边及一角解三角形 [典例2]　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． [解]　∵＝， ∴sin C＝＝＝. ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. ∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. [变式拓展] 　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，试判断角A有几个值？ 解：∵＝， ∴sin A＝＝＝. ∵c＝>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个． [方法技巧] 1．已知两边及其中一边的对角，解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角，注意是否有两组解； (2)用三角形内角和定理求出第三个角； (3)根据正弦定理求出第三条边． 2．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [针对训练] 3．已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　 ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 解析：选C　由正弦定理和已知条件得＝，∴sin B＝＞1.∴此三角形无解．故选C. 4．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长． 解：由＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ ＝＝2. 当B＝120°时， C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1. 综上所述c＝1或2. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [典例3]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8