6.4 第2课时 余弦定理(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 2 课时　余弦定理(深化课—题型研究式教学) 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ 2.解三角形的定义 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 微点助解 (1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． (3)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． ②若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝，B＝60°，则c＝(　 ) A．1 B. C．3 D．1或3 解析：选C　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B＝，c＝5，a＝3，则b＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由cos B＝，c＝5，a＝3以及余弦定理得b＝＝＝，故选D. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [典例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． [解]　根据余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. cos C＝＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝，∴A＝，B＝，C＝. [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [针对训练] 3．若△ABC的三边长分别为3,6,7，则该三角形最大角的余弦值为(　 ) A．－ B. C. D. 解析：选A　因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为θ，则cos θ＝＝－，故选A. 4．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　 ) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D.∶∶2 解析：选A　设三角形三边长分别为m，m,2m(m＞0)，最大角为A，则cos A＝＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cos B＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 题型(三)　判断三角形的形状 [典例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． [解]　将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b22－c22 ＝2bc××， ∴b2＋c2＝ ＝＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形