6.4 板块综合融会 解三角形及其应用(习题课—小结评价式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

板块综合融会　解三角形及其应用(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显，正符合了数学建模的核心素养；解决此类问题的关键是能作出示意图，故涉及直观想象的核心素养． 2．渗透的数学思想 (1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运算求解体现了数形结合的思想． (2)用向量法推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想． (3)在求解三角形中的边角问题时，用到函数与方程思想． 融通点(一)　三角形面积问题 [典例1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． [解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ， 即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，所以△ABD的面积为. [方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤 [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，A＝，b＝1，则△ABC的面积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由正弦定理可得＝＝＝，又A＝，b＝1，则a＝1，B＝，所以△ABC是边长为1的正三角形，所以△ABC的面积为×12×＝. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．因为sin A≠0，所以sin＝sin B．由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos ＝2sincos.因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以<a<2，从而<S△ABC< .因此△ABC面积的取值范围是. 融通点(二)　解三角形与平面几何相结合 [典例2]　如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2. (1)求B； (2)若点P是线段AB上的一点，PC＝2，求PA的值． [解]　(1)设BC＝CD＝x>0， 在△ABC中，由余弦定理， 得AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28， 即x2＋8＝12xcos B，　① 又在△ACD中，由余弦定理， 得AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28， 即x2－24＝4xcos D，　② 因为B＋D＝π， 则cos D＝cos(π－B)＝－cos B， 联立①②可得，x＝4，cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△PBC中， 由正弦定理知，＝， 所以sin∠BPC＝＝＝1， 且0<∠BPC<π，故∠BPC＝， 在Rt△PBC中， 由勾股定理知，PB＝＝2， 此时PA＝AB－PB＝4. [方法技巧] 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． [针对训练] 3．如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，求∠ADC的大小； (2)若BD＝2DC，且DC＝1，求AD的长． 解：(1)在△ADC中，由正弦定理得＝，所以sin∠ADC＝＝×＝，又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°，所以∠ADC＝120°. (2)由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3，AC＝， 所以直角三角形ABC中，cos C＝＝， 在△ADC中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋DC2－2AC·DCcos C＝()2＋12－2×1×＝2，所以AD＝. 融通点(三)　解三角形与三角恒等变换相结合 [典例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)已