6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学) 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2．能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题． 1．平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 微点助解 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线．(　 ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．(　 ) (3)如果x1y2－x2y1＝0，那么向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)共线．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是(　 ) A．(5,3) B．(4,3) C．(8,3) D．(0，－1) 答案：C 3．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是(　 ) A．不共线 B．相等 C．方向相同 D．方向相反 解析：选D　∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D. 4．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝______. 解析：∵a∥b，∴＝，解得y＝－4. 答案：－4 题型(一)　平面向量数乘运算的坐标表示 [典例1]　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. [解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [针对训练] 1．已知点A(2,3)，B(1,4)，且＝－2，则点P的坐标是(　 ) A．(0,5) B. C．(3,2) D．(－3,2) 解析：选A　设O为坐标原点，＝＋＝－2＝－2(－)，整理得＝2－＝(2,8)－(2,3)＝(0,5)．故选A. 2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　 ) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：选A　由3a－2b＋c＝0，得c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．∴c＝(－23，－12)． 题型(二)　平面向量平行(共线)的判定 [典例2]　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证：∥. [证明]　 设E(x1，y1)，F(x2，y2)． 由题意知＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)， ∴＝＝，＝＝. ∴(x1，y1)－(－1,0)＝，(x2，y2)－(3，－1)＝. ∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝. ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. ∵4×－(－1)×＝0，∴∥. [方法技巧] 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行． [针对训练] 3．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 则2×6－3×4＝0，所以∥.所以与共线． 又＝，所以与的方向相同． 题型(三)　利用向量共线求参数 [典例3]　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝_________. (2)已知向量a＝(1,0)