6.3.1 平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.1　平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.理解平面向量基本定理及其意义，会判断两个向量能不能作为一组基底． 2．了解向量基底的含义．在平面内，当一个基底确定后，会用这个基底来表示其他向量． 平面向量基本定理的定义 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 微点助解 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　 ) (2)零向量可以作为基向量．(　 ) (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　如图，＝＝(－)＝2e1－3e2. 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_______． 答案：4e1＋3e2 4．已知向量a，b不共线，若λa＋b＝－a＋μb，则λ＝________，μ＝________. 解析：∵λa＋b＝－a＋μb， ∴(λ＋1)a＋(1－μ)b＝0.又∵a，b不共线， ∴λ＋1＝0且1－μ＝0.即λ＝－1，μ＝1. 答案：－1　1 题型(一)　对平面基本定理的理解 [典例1]　(多选)设e1，e2是两个不共线的向量，则下列四组向量中，能作为平面向量的一组基的是(　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．e1＋2e2和e2＋2e1 C．3e1－2e2和4e2－6e1 D．e2和e2＋e1 [解析]　e1＋e2和e1－e2没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；e1＋2e2和e2＋2e1没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基；e2和e2＋e1不共线，可作为平面向量的一组基．故选A、B、D. [答案]　ABD [方法技巧] 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示． [针对训练] 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　 ) A.， B.， C.， D.， 解析：选B　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B. 2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为一组基，则实数λ的取值范围为________________． 解析：若a，b能作为一组基，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 题型(二)　用基底表示向量 [典例2]　如图所示，已知▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，. [解]　∵四边形ABCD是平行四边形， E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2. ∴＝＝b，＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a. [变式拓展] 1．在本例中，若取＝x，＝y作为基底，试用x，y表示，. 解：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b.∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)． 于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y， ＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y. 2．在本例中，若取＝e，＝f作为基底，试用e，f表示. 解：由典例2，知＝a－b＝e，＝b－a＝f. 解得a＝e＋f，b＝e＋f. ∴＝a－b＝e＋f－＝e－f. [方法技巧] 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型： 　　 [针对训练] 3．(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记