6.2.3 向量的数乘运算(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及数乘运算的运算法则． 2．理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义，并会应用向量共线解决一些简单问题． 3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义，能用已知向量表示未知向量． (一)向量的数乘运算 1．向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0 λ＜0 λa的方向与a的方向相反 2.向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 微点助解 (1)从两个角度理解向量数乘 ①代数角度 实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0⇔λ＝0或a＝0. ②几何角度 |λ|>1 λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍 λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍 0<|λ|<1 0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍 －1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍 (2)关于向量的线性运算 向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　 ) (2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．(　 ) (3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　 ) (4)表示向量a方向上的单位向量．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下列运算正确的个数是(　 ) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C (二)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 微点助解 (1)共线向量定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0， 当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数； 当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在． (2)当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0. [基点训练] 1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)． ∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8.∴λ＝8. 答案：8 题型(一)　向量的线性运算 [典例1]　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. [方法技巧] 向量线性运算的基本方法 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用． [针对训练] 1．若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　 ) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 解析：选C　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. 2．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a 题型(二)　用已知向量表示其他向量 [典例2]　如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　 ) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b [解析]　＝＋＝＋ ＝－＝a－b. [答案]　D [变式拓展] 1．本例中，若“E是BC的中点”变为“＝，＝，G为EF的