6.2.2 向量的减法运算(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.2　向量的减法运算(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量和向量减法的概念． 2．理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则． 3．利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算． (一)相反向量 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝a 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 微点助解 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量． [基点训练] 1．若非零向量m与n是相反向量，则下列结论不正确的是(　 ) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 答案：A 2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________． 答案：， (二)向量的减法运算及其几何意义 定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 微点助解 (1)对于向量减法的三点说明 ①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． ②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． ③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． (2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. ②类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.(　 ) (2)两个相反向量之差等于0.(　 ) (3)两个向量的差仍是一个向量．(　 ) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．给出下列等式： ①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a－0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0. 其中正确的个数是(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确．⑥错误．故选C. 3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　 ) A.－＝0 B.－＝ C.－＝ D.＋＝0 答案：C 题型(一)　向量减法及其几何意义 [典例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. [变式拓展] 　若本例条件不变，求作向量a－b－c. 解：如图，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a－b. 再作＝c，则＝a－b－c. [方法技巧] 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． [针对训练] 1．如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋c－a. 解：法一：如图，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. 法二：如图，作＝＝b， 连接AD， 则＝－＝c－a， ＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. 题型(二)　向量的减法运算 [典例2]　化简：(1)＋－－； (2)(－)－(－)． [解]　(1)＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. (2)法一：(统一成加法) (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. 法二：(利用减法) (－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0. [方法技巧] 向量减法运算的常用方法 (1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算． (2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点． (3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一． [针对训练] 2.如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且