6.2.1 向量的加法运算(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.1　向量的加法运算(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则． 2．理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量． 3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算． (一)向量加法 1．向量加法的定义及三角形法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，连接AC 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 2．向量加法的平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法 作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b 结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和 图形 3．规定 零向量与任意向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　 ) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．(　 ) (3)如果a，b是共线的非零向量，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　 ) A. B. C. D. 答案：D (二)共线向量的加法与向量加法的运算律 1．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立． 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微点助解 (1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，方案②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点一定会到达同一终点． (3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． [基点训练] 1．下列等式不成立的是(　 ) A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a C.＋＝2 D.＋＋＝ 答案：C 2．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为(　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选A　向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A. 题型(一)　向量加法的平行四边形法则和三角形法则 [典例1]　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c. [解]　 (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b. (2)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. [方法技巧] 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． [针对训练] 1．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①. (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②. (3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③. 2．如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. 题型(二)　向量加法运算律的应用 [典例2]　化简： (1)＋＋； (2)＋＋＋＋. [解]　(1)＋＋＝＋＋＝0； (2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0. [方法技巧]　向量加法运算律的意义和应用原则 意义 由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 应用 原则 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 [针对训练] 3.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则＋＋＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得＋＋＝＋＝. 4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________. 解析：＋＋＝＋＋＝. 答案：