第五章 一元函数的导数及其应用小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 小结与复习 高中快车道 知识网络∙体系构建 2 【主题1】 导数的概念及其运算与数学运算素养的培养 主题归纳∙综合提升 思路点拨：(1) 将函数式变形为关于x的三次函数的形式,再运用导数公式与运算法则求导;对(2)~(5)小题,可直接运用导数公式与运算法则求出其导数. 【例1】[教材改编题]求下列函数的导数: (1) y=(3x2-4x)(2x+1); (2) y=x2sinx; (3) y=3xex-2x+e; (4) y=; (5) y=ln(2x-5). 3 【解】 4 【变式训练1】 (1) 已知函数y=,则函数y在x=1处的导数y'|x=1=　　　　;  (2) f(x)=x(2 020+lnx),若f'(x0)=2021,则x0=　　　　;  (3) 若函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)=　　　　.  5 【解】 6 【点评总结】 函数求导时一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错,常用化简技巧有:① 连乘形式:先将函数展开化为多项式连乘的形式,再求导;② 分式形式:观察函数结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;③ 对数形式:先将函数化为和、差的形式,再求导;④ 根式形式:先将函数化为分数指数幂的形式,再求导;⑤ 三角形式:先利用三角函数公式将函数转化为和或差的形式,再求导;⑥ 复合函数:由外向内,层层求导. 7 【例2】已知函数f(x)=-,g(x)=xlnx-x2-x. (1) 求f(x)的极值; (2) 若当x∈(1,+∞)时,f(x)与g(x)的单调性相同,求a的取值范围. 思路点拨：(1)由函数极值的概念可求得结果.(2) 由(1)知,f(x)在(1,+∞)单调递增,所以g(x)在(1,+∞)单调递增,利用导数将该条件转化为a≤在(1,+∞)恒成立,构造函数p(x)=,x∈(1,+∞),利用导数求出p(x)的值域即可得解. 【主题2】运用导数研究函数的性质及分类讨论思想的运用  【解】 【变式训练2】已知函数f(x)=lnx-(m∈R). (1) 当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2) 若函数f(x)在区间[1,e]上取得最小值4,求m的值. 10 【解】 11 【点评总结】 求解有关函数的单调性、极值和最值等问题时,导数是一个有力的工具.解题时,要注意正确运用导数与函数的单调性、极值、最值之间的关系,先确定函数的定义域,再求函数的导数,然后通过对导数值的正负的判断,得出函数的单调性、极值和最值,进而使问题获解. 【主题3】导数的几何意义及数形结合思想的运用  思路点拨：(1) 根据已知条件求出曲线在点(1,f(1))处的切线方程,再分别求出切线与两坐标轴的交点,进而求出所围成的三角形面积.　(2) 思路1:对函数f(x)进行二次求导,确定一阶导数的单调性,再结合a情况进行分类讨论,求f(x)min,从而得证.思路2:通过对原函数进行变形转化,再根据它的结构特征构造函数,加以证明. 【例3】 [2020·新高考全国Ⅱ卷]已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna. (1) 当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2) 若f(x)≥1,求a的取值范围. 【解】 14 【变式训练3】 [2020·北京卷]已知函数f(x)=12-x2. (1) 求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程; (2) 设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值. 【解】 15 【点评总结】 导数的几何意义是曲线切点处切线的斜率,它的运用主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值f'(x0);(2) 若求过点