第五章 5.3.3导数的应用-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 课时12　导数的应用    高中快车道 教学目标 1.能运用导数与函数的单调性、极值、最值之间的关系解决有关函数与方程的综合问题. 2. 掌握运用导数解决函数与有关比较大小、证明不等式和求范围等综合问题的基本方法. 3. 学会将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,然后再运用导数知识使问题获解. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 能运用导数解决与函数相关的综合问题 通过运用导数解决与函数相关的综合问题,培养逻辑推理、数学运算等素养 能利用导数解决实际问题(学会建立数学模型、运用导数知识求解数学模型,进而获得实际问题的解) 在利用导数解决实际问题的过程中,培养数学抽象、数学建模等素养 3 情境导学 不知大家有没有注意过,对于果汁、可乐等不同饮料,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些.是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?你想不想从数学角度来认识它的道理? 【活动1】探索运用导数解决与函数和方程有关综合问题方法     初探新知 问题1 什么是函数的零点? 问题2 我们可以从哪些角度来认识函数与零点的概念? 问题3 解决函数零点问题的基本思路是什么? 问题4 函数的零点与导数之间存在联系吗? 问题5 设函数f(x)=lnx+,m∈R.讨论函数g(x)=f'(x)-(x>0)零点的个数. 5 【活动2】探索运用导数解决函数与不等式的综合问题的方法   问题6 我们知道,函数的单调性与不等式有着密切的联系,运用导数可以研究函数的单调性,那么运用导数可以求解函数与不等式的综合问题吗? 问题7 已知函数f(x)=lnx-x+,存在x0∈[,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值. 【活动3】探索生产与生活实际中的最优化问题的求解方法  问题8 如图,在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子的体积最大?并求最大体积. 问题9 某商场销售某种商品,经验表明,该商品每日的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)满足关系式y=+10(x-6)2,x∈(3,6).若该商品的成本为3元/kg,则当销售价格为　　　　元/kg时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大.  典例精析 思路点拨：第1小题先确定定义域,再求导、因式分解,容易求得单调区间;第2小题通过构造函数F(x)=f(x)-g(x),于是将所求问题转化为函数F(x)的零点个数,再运用导数知识加以解决. 【例1】设函数f(x)=x2-mlnx,g(x)=x2-(m+1)x,m>0. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 当m≥1时,讨论f(x)与g(x)图象的公共点个数. 8 【解】 9 【方法规律】(1) 涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围. (2) 解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法. 10 【变式训练1】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx. (1) 讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2) 若方程f(x)=g(x)在区间[1,e]上有两个不相等的解,求实数a的取值范围. 【解】 11 典例精析 【例2】已知函数f(x)=ax-ex(a∈R),g(x)=. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 若∃x∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范围. 思路点拨：第(1)小题定义域为R,求导,需要对字母a进行讨论,确定函数的单调区间;第(2)小题对原不等式进行变形,通过分离变量法将参数a分离,再构造函数运用导数求最值. 12 【解】 13 【方法规律】1. 含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 (1) a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;(2) a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max. 2. 含全称、存在量词不等式能成立问题 (1) 存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max;(2) 任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.