第五章 5.3.2函数的极值与最大(小)值-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 课时10　函数的极值与最大(小)值(1)   高中快车道 教学目标 1.结合函数的图象,了解函数的极值以及极值点的概念,理解函数的极值与导数的关系. 2. 了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,体会极值是函数的局部性质. 3. 掌握运用函数的极值与导数之间的关系求解与函数的极值、极值点有关的问题的方法和步骤. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 结合函数图象,了解函数的极值与极值点的概念,理解函数的极值与导数之间的关系 通过对函数的极值、极值点的概念和函数的极值与导数的关系的学习,培养直观想象、数学抽象等素养 理解函数极值存在的条件,能运用函数的极值与导数的关系求函数的极值和极值点 在运用导数求函数的极值的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养 能正确运用函数的极值与导数之间的关系解决与函数的极值、极值点有关的综合问题 在解决与函数极值有关的综合问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养 3 情境导学 在2021年东京奥运会女子10米跳台决赛中,我国小将全红婵以三跳满分总分466.5的成绩夺冠.已知高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10,观察函数图象,回答下列问题: (1) 当t=a时,高台跳水运动员距水面高度最大,那么函数h(t)在t=a处的导数是多少呢? (2) 当t<a时,h(t)的单调性是什么样的?h'(t)的符号是什么? (3) 当t>a时,h(t)的单调性是什么样的?h'(t)的符号是什么? (4) 探究在t=a附近的导数h'(t)符号变化规律与h(t)图象变化特点. 图1 【活动1】函数极小值点与极小值的定义   初探新知 问题1 对于一般的函数y=f(x),是否也具有“函数单调递增则导数大于零,函数单调递减则导数小于零”呢? 问题3 函数y=f(x)在点x=a处的导数值是多少? 问题2 如图,函数y=f(x)在a处的函数值与这个点附近的函数值有什么关系? 问题4 在点x=a附近y=f(x)的导数的符号有什么规律? 图2 5 【活动2】函数极大值点与极大值的定义  问题5 在图2中,函数y=f(x)在点x=b处的函数值与这个点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在点x=b处的导数值是多少?在点x=b附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 问题6 你能给出一般性的结论吗? 问题7 如图3,x=c,d,e是否为函数y=f(x)的极值点?如果是,请分析原因;如果不是,请说明理由. 问题8 极大值一定大于极小值吗? 【活动3】判断函数y=f(x)是否存在极值  问题9　导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 问题10　你能总结出判断函数y=f(x)的极值的一般方法吗? 【活动4】判断函数y=f(x)是否存在极值  问题11　如何求函数f(x)=2x-xlnx的极值呢? 问题12　你能根据问题11的解决过程归纳出求可导函数极值的一般步骤吗? 典例精析 思路点拨：确定定义域为R,求导,再令导数等于0求出x值,列表求极值. 【例1】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值与极值点. 9 【解】 10 【方法规律】函数极值和极值点的求解步骤: (1) 确定函数的定义域. (2) 求方程f'(x)=0的根. (3) 用方程f'(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格. (4) 由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 11 【变式训练1】 【解】 12 典例精析 【例2】讨论函数f(x)=x-alnx(a∈R)的极值情况. 思路点拨：先确定f(x)的定义域,求导得到含有参数字母a的函数,再对a进行分类讨论. 13 【解】 14 【方法规律】解决含参数的函数极值和极值点的问题的步骤: (1) 确定函数的定义域. (2) 求导函数f'(x). (3) 根据条件对参数进行讨论,① f'(x)的恒正或恒负情况;② f'(x)=0情况,根据参数取值讨论根的大小,再按根大小顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格. (4) 由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 15 【变式训练2】已知函数f(x)=x++1,a∈R,讨论此函数的极值情况. 【解】 16 典例精析 【例3】已知函数f(x)