第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用 高中快车道 5.1 导数的概念及其意义 课时3 导数的概念及其几何意义（1） 高中快车道 教学目标 1. 通过具体实例,类比平均速度和瞬时速度认识和理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2. 能够从数值逼近、函数图象直观感知和解析式抽象三个角度来正确地认识和理解导数的定义. 3. 学会运用导数的定义求简单函数在某点处的导数,掌握运用导数的定义求导数的方法和步骤. 3 学习目标 课程目标 学科核心素养 通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念 在初步认识导数的概念的过程中,培养数学抽象、直观想象素养 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数是如何刻画瞬时变化率的,感悟极限思想 在经历刻画瞬时变化率的过程中,培养数学运算、逻辑推理素养 理解导数的概念,能运用导数的定义求一些简单函数的导数 在运用导数的定义求简单函数的导数的过程中,培养数学运算素养 4 情境导学 微积分的主要起源是三个很古老的问题:光学中反射面为一般曲线的入射光是怎样反射的?如何确定曲线运动的速度方向?如何求两条相交的曲线所构成的夹角?而要解决这三个不同的问题,归根结底都要解决同一个问题:曲线的切线问题. 【活动1】 函数的平均变化率  初探新知 问题1　对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y的变化量为多少? 问题2　函数的平均变化率如何表示? 6 问题4　对于函数y=f(x),当Δx→0时,如果 不存极限呢? 【活动2】函数的导数概念    问题5　Δx是自变量x在x0处的改变量,所以Δx≠0,Δy可以为零吗? 问题6　如何定义函数y=f(x)的导数呢? 问题7 某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在的函数关系:h(t)=-4.9t2+4.8t+11,则该运动员在t=1时的瞬时速度v(1)是多少? 问题8 抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0是多少? 问题3 对于函数y=f(x),当Δx→0时,平均变化率 会如何? 典例精析 【例1】 已知函数f(x)=-x2+x. (1) 求该函数在x=-1附近的平均变化率; (2) 求该函数在x=-1处的瞬时变化率. 思路点拨：根据函数f(x)在x=x0附近平均变化率与瞬时变化率的定义,f(x)在x=-1的平均变化率,为两增量之比,需先求Δy,再求 即得平均变化率,最后由瞬时变化率定义,求出 在Δx→0时的极限值,得出函数在该点处的瞬时变化率. 8 【方法规律】：(1) 求函数y=f(x)在x=x0处的平均变化率可分两步进行,一作“差”:求函数在x=x0附近的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);二求“比”:求函数的增量与自变量的增量之比 .(2) 求简单函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,可根据定义,先求出函数y=f(x)在x=x0处的平均变化率,再求其当Δx→0时的极限值. 【解】 9 【变式训练1】 已知函数 (1) 求函数在x=1和 x=4附近的平均变化率; (2) 求函数在x=1和 x=4处的瞬时变化率 【解】 10 【例2】求函数y=在x=1处的导数. 思路点拨：首先求出函数在x=1处的平均变化率,再根据函数在x=x0处的导数的定义,求出当Δx→0时的极限值,即得函数在该点处的导数值. 【解】 【方法规律】：(1) 定义是解题的重要依据,求函数在某一点处的导数,一个最基本的方法就是定义法,先求出函数在该点处的平均变化率 ,再判断当Δx→0时, 无限趋近于哪一常数,该常数即为所求导数;(2) 为了能够求出 的值,对 进行适当的变形化简,是解题的重要一环,对于 是两个无理式的和或差的形式,有理化分子是常用方法. 【变式训练2】求函数f(x)=在x=1处的导数. 【解】 13 【例3】[教材改编题]一个做自由落体运动的物体,其运动方程为s(t)=4.9t2(位移s的单位:m,时间t的单位:s).求: (1) 物体在前2 s共下落的距离. (2) 物体在t=2 s时的瞬时速度和瞬时加速度. 思路点拨：(1) 根据s与t的函数关系式可求.　(2) 只要计算出s关于t的函数s=4.9t2在t=2 s的瞬时变化率即得物体在t=2 s时的瞬时速度,而瞬时加速度应为速度函数v=v(t)在t=2 s时的瞬时变化率. 14 【解】 【方法规律】：物体的瞬时速度是物体的位移s对于时间t的瞬时变化率即s关于t的导数,物体的瞬时加速度又是物体运动的速度v对于时间t的瞬时变化率,即v关于t的导数.因此,