第四章 数列 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

第四章小结与复习 高中快车道 知识网络∙体系构建 2 【主题1】 数列的概念及表示方法  主题归纳∙综合提升 思路点拨：(1) 在Sn=an中,令n=2,3,计算可得a2,a3.　 (2)利用数列{an}中an与Sn的关系an=将Sn与an的关系转化为an与an-1的递推关系,可用累乘法求得其通项公式. 【例1】 在数列{an}中,已知a1=1,前n项和为Sn,且Sn=an. (1) 求a2,a3; (2) 求{an}的通项公式. 3 【解】 4 【变式训练1】 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 【解】 5 【点评总结】 任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系: an=若a1适合Sn-Sn-1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示.当题目给出数列{an}中an与Sn的关系时,我们常用上述关系将其转化为关于数列{an}的递推关系,再运用累加法、累乘法或构造等差数列、等比数列等方法求出其通项公式. 6 【例2】在数列{an}中,已知an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0). (1) 若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2) 若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. 思路点拨： 【解】 【变式训练2】在数列{an}中,已知a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. 9 【解】 10 【点评总结】 数列是特殊的函数,研究数列的有关问题时,我们可以运用函数的观点,充分借助函数的图象和性质的研究方法.(1) 单调性:若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列;(2) 周期性:若an+k=an(n∈N*,k为非零正整数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期;(3) 最大值与最小值:若则an最大; 若则an最小. 【主题2】等差数列、等比数列的证明与计算问题   【例3】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn=,求证:数列{bn}是等差数列. 思路点拨： 【解】 13 【变式训练3】已知非零数列{an}满足a1=1,=+1.证明数列{+1}为等比数列,并求{an}的通项公式. 【解】 14 【点评总结】 (1) 证明一个数列为等差数列的常用方法:① 定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数;② 等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2;③ 通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.(2) 证明一个数列为等比数列的常见方法:① 定义法:若 =q(q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列;②等比中项法:若=anan+2(n∈N*,an≠0),则数列{an}是等比数列;②通项公式法:若an=Aqn(A,q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列. 【例4】已知数列是各项均为正数的等比数列,它的前n项和为80,且前n项中最大的数为54,它的前2n项和为6560,求数列{an}的通项公式与前n项和公式. 思路点拨： 因为数列{an}是等比数列,要求其通项公式与前n项和公式,只要求出其首项a1与公比q即可,根据题目条件,列出关于a1与q的方程