第四章 4.4数学归纳法-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

4.4 数学归纳法 课时11 数学归纳法（1） 高中快车道 教学目标 1. 通过多米诺骨牌游戏,探究数学归纳法的证明步骤,理解数学归纳法的提炼过程. 2. 类比多米诺骨牌游戏,加深对数学归纳法本质特征的认识,明确数学归纳法的操作步骤. 3. 借助一些简单的数学命题,熟悉数学归纳法证明数学命题的基本过程和表示规范. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解数学归纳法的提炼过程 类比多米诺骨牌游戏,加深对数学归纳法本质特征的认识,培养数学抽象、逻辑推理素养 理解数学归纳法的步骤及适用范围 在探究数学归纳法证明步骤的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题 在利用数学归纳法证明数学命题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 3 情境导学 情境1:法国数学家费马观察到: +1=5, +1=17, +1=257, +1=65537,归纳猜想:任何形如 +1(n∈N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想,这个猜想对吗? 情境2:已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),计算a2,a3,a4,猜想an的表达式? 【活动1】 通过多米诺骨牌游戏,探究“猜想的证明步骤” 初探新知 问题1　观看多米诺骨牌游戏视频,它们全部倒下的条件是什么? 问题2　问题1中条件的作用分别是什么? 问题3　递推关系是关键,你能发现情境二中的“类似性质”吗?如何证明? 问题4 类比多米诺骨牌游戏,请你总结一下“猜想的证明步骤”. 5 问题5　“骨牌原理”的第一步为命题成立提供了基础,称之为“归纳奠基”,那么n的取值一定从1开始吗? 【活动2】　探究数学归纳法的步骤及适用范围  问题6　“骨牌原理”的第二步为保证了命题成立的递推性,称之为“归纳递推”,这一步的本质是什么? 问题7　请你进一步归纳:证明一个与正整数n有关的命题的步骤是什么? 问题8　是不是涉及正整数的命题都要用数学归纳法?请举例说明. 典例精析 【例1】 （1） 用数学归纳法证明“n2>n+2对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 (　　) A.2 B.3 C.5 D.6 （2）[2021·陕西省咸阳市百灵中学高二月考]某同学解答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N*)”的过程如下: 证明:① 当n=1时,显然命题是正确的; ② 假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,有<k+1,则当n=k+1时,=<=(k+1)+1,所以当n=k+1时,命题是正确的. 由①②可知,对于n∈N*命题都是正确的. 以上证法是错误的,错误的原因在于 (　　) A. 从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设 B. 假设的写法不正确 C. 从n=k到n=k+1的推理不严密 D. 当n=1时,验证过程不具体 7 典例精析 思路点拨： 第(1)题,根据已知及运用数学归纳法证明的计算,可知第一步证明中的起始值n0应取的值; 第(2)题,在推出P(k+1)成立过程中,没有用到假设P(k)成立的形式,不是数学归纳法. 8 【方法规律】：数学归纳法的特点:一是初始条件n0的取值;二是在证明过程中一定要用到归纳递推. 【解】 (1) 因为当n=1,2时,n2>n+2不成立,当n=3时,32=9>5,所以第一个能使n2>n+2成立的n的值为3,故选B.　 (2) 证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大,而没有使用归纳假设<k+1.故选A. 9 【变式训练1】 (1) 用数学归纳法证明“2n≥n2(n≥4)”时,第二步应假设 (　　) A. 当n=k≥2时,2k≥k2 B. 当n=k≥3时,2k≥k2 C. 当n=k≥4时,2k≥k2 D. 当n=k≥5时,2k≥k2 (2) 证明:假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即2+4+…+2k=k2+k,那么2+4+…+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+1),即当n=k+1时等式也成立.因此对于任何n∈N*等式都成立. 以上用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N*)”的过程中的错误为 　.  【解】(1) 根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步归纳假设的正确写法为:假设当n=k≥4时,2k≥k2.故选C.　 (2) 因为没有求证当n=1时命题是否成立,故求证过程中的错误为:缺少“归纳奠基”步骤. C 缺少“归纳奠基”步骤 1