第四章 4.3.2等比数列的前n项和公式-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

4.3 等比数列 课时10 等比数列的前n项和公式（2） 高中快车道 教学目标 1. 掌握等比数列前n项和的性质,进一步熟悉数列中的从特殊到一般的数学思想. 2. 能够灵活地运用等比数列的前n项和公式与有关性质求解等比数列的计算问题,体会转化与化归思想,提高对等比数列前n项和公式及其性质的应用能力. 3. 理解并掌握等比数列在几何问题和实际问题中的应用,并能够通过构造等差数列、等比数列解决等差数列和等比数列的综合问题,提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 能够灵活地运用有关等比数列的前n项和公式与性质求解有关等比数列的问题 通过等比数列的前n项和公式与性质的运用,体会转化与化归思想,培养数学运算能力和逻辑推理素养 能够运用等比数列的前n项和公式解决几何图形中的面积和问题 通过建立等比数列模型将几何问题转化为等比数列前n项和问题,培养数学建模素养 能够通过构造等差数列、等比数列解决有关等差数列和等比数列的综合问题 通过探究形如“an+1=pan+q”的数列的构造方法,提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,培养逻辑推理素养 3 情境导学 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,问塔的顶层共有灯几盏? 【活动1】 探究等比数列前n项和的性质  初探新知 问题1　若等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,问数列Sm,S2m,S3m,…是等比数列吗?为什么? 问题2　若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列吗?为什么? 问题3　若公比等于-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且m∈N*,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是等比数列吗? 5 问题4　若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),请你写出a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式. 【活动2】利用形如an=pan-1+pn的递推关系构造数列 问题5　不难发现an+1=2n,那么如何证明上述结论? 问题6　若将“a1=1”改为“a1=-1”,结论又是什么? 问题7　若数列{an}满足an+1=pan+q(n∈N*),其中p,q为常数,且p≠1,q≠0,如何构造数列呢? 典例精析 【例1】 (1) [2022·辽宁省丹东市高三期末改编题]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=7,S6=91,则S4为 (　　) A. 28 B. 32 C. 21 D. 28或-21 (2) 在等比数列{an}中,公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=　　　　.  思路点拨：(1) 借助前n项和为Sn的等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列这一等比数列前n项和的性质求解.　 (2) 利用前n项和为Sn的等比数列{an}中,若项数为偶数,则 =q,及S2n=S奇+S偶这一性质求解. A 24 7 【方法规律】：等比数列的前n项和有一些重要性质:(1) 前n项和为Sn(且Sn≠0)的等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1);前n项和为Sn的等比数列中,若项数为2n,则=q(S奇≠0);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).在求解有关等比数列前n项和的问题时,若能灵活地运用这些性质,可优化解题过程,提高解题效率. 【解】 (1) 因为{an}为等比数列,所以S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,即7,S4-7,91-S4成等比数列,所以(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2=7,所以S4=28.故选A.　 (2) 设S偶=a2+a4+a6+…+a80,S奇=a1+a3+a5+…+a79.则=q=3,即S偶=3S奇.又S偶+S奇=S80=32,所以S偶=32,解得S偶=24.即a2+a4+a6+…+a80=24. 8 【变式训练1】等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,求该等比数列的公比. 【解】 9 【例2】如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,作新三角形的内切圆,依此方法一直继续下去. (1) 求前10个内切圆的面积和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去,那么