第八章 8.6.1直线与直线垂直-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

8.6   空间直线、平面的垂直 课时11　直线与直线垂直  1. 通过观察实物和模型,了解刻画异面直线位置关系的方法,理解异面直线所成角的概念. 2. 理解空间两条直线的位置关系和空间两条直线垂直的概念,掌握证明两直线垂直的方法. 3. 能正确地运用两条异面直线所成的角的概念,求解一些关于两异面直线所成的角的问题. 课程目标 学科核心素养 了解刻画异面直线位置关系的方法,理解异面直线所成角的概念 通过刻画异面直线的位置关系和探究异面直线所成角的概念,培养数学抽象及直观想象等素养 了解直线与直线垂直的概念,掌握判断和证明直线与直线垂直的方法 在研究有关空间直线与直线垂直问题的过程中,培养直观想象和逻辑推理等素养 能正确理解两条异面直线所成的角的概念,会求两条异面直线所成的角 在求异面直线所成的角的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 　图1 1. 在生活中我们经常能看到如图1中的立交桥,虽然车很多,但交通还是很顺畅,这两条公路给我们什么印象? 2. 在空间中你能用两支笔摆出几种位置关系? 3. 日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系是什么? 【提示】 情境1两条道路所在的直线不在同一平面内,它们既不平行也不相交,这样的两条直线异面. 情境2能摆出三种位置关系,分别是相交、平行和异面.情境3日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线异面. 设计意图　通过创设生活情境导入新课,让学生直观感知空间两直线的位置关系,让学生感受到数学来源于生活,体会研究空间两条直线所成的角和垂直关系的意义,引发学生的思维活动,激发学生学习的兴趣,为新课的探究学习营造出一个和谐与活泼的氛围. 任务1　探究异面直线所成的角  活动1　探究异面直线所成角的刻画方法  问题1　如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1和BC,B1D1和BC它们都是异面关系,直线AA1和BC与B1D1和BC的位置有什么差异吗? 图2 【提示】 有. 问题2　如何刻画这种差异呢? 【提示】 用它们形成的角的大小刻画这种差异. 问题3　类比两相交直线所成角,你能给出异面直线所成角的定义吗? 【提示】 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 问题4　如何用图形来表示异面直线a,b所成的角呢? 【提示】 如图3: 图3 问题5　两条异面直线所成的角可以是直角吗?此时如何定义它们的关系呢? 【提示】 可以.如果两条异面直线所成的角是直角,则叫这两条异面直线互相垂直.两条异面直线a,b 垂直,记作a⊥b. 问题6　你能确定异面直线所成的角的范围吗? 【提示】 当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°,所以异面直线所成的角的范围:. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,加深学生对异面直线的认识与理解,让学生在探究发现两条异面直线的位置差异的过程中归纳得出两条异面直线所成角的概念和两条异面直线垂直的定义,了解两条异面直线所成的角的范围,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务2　探讨异面直线所成角的求法  活动2　探究异面直线所成角的求法  问题7　如图4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如何求异面直线B1D1与BC所成角的大小? 图4 【提示】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC∥B1C1,易知直线B1D1与直线BC所成的角就是直线B1D1与直线B1C1所成的角,即∠D1B1C1或其补角即为直线B1D1与直线BC所成的角.因∠D1B1C1=45°,所以异面直线B1D1与BC所成角的大小为45°. 问题8　如图4,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,如何求异面直线AA1与BC所成角的大小? 【提示】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1,易知直线AA1与直线BC所成的角就是直线BB1与直线BC所成的角,即∠B1BC或其补角即为直线AA1与直线BC所成的角.又因为∠B1BC=90°,所以异面直线AA1与直线BC所成的角为90°,即AA1⊥BC. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生以正方体为载体,探究正方体中棱以及对角线所成的角,利用棱之间的平行关系,将求异面直线所成的角的大小转化为求相交直线所成的角的大小,深化学生对异面直线所成的角的概念的认识和理解,发展学生的直观想象与逻辑推理等素养. 知识梳理 1. 异面直线所成角 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2. 异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b. 3. 异面直线所成的角