第七章 7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时6　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义  1. 通过探究复数乘、除运算的三角表示,理解并掌握复数三角形式的乘、除运算法则,并能熟练运用三角形式进行乘、除运算. 2. 通过研究复数的三角形式的乘、除运算的几何意义,理解复数乘除运算的本质是平面向量的旋转和伸缩变换. 3. 通过复数的三角形式的四则运算,将向量、三角函数、复数紧密联系起来,能正确地求解复数与向量、三角函数的综合问题. 课程目标 学科核心素养 了解复数的三角形式的乘法运算,并理解其几何意义 通过复数的三角形式的乘法法则及其几何意义的探究,培养直观想象和逻辑推理等素养 了解复数的三角形式的除法运算,并理解其几何意义 通过复数的三角形式的除法法则及其几何意义的探究,培养直观想象和数学抽象等素养 能正确地求解复数与向量、三角函数有关的综合问题 在求解复数与向量、三角函数的综合问题的过程中,培养数学运算与逻辑推理等素养 　　棣莫佛,1667年生于法国维特里,1754年卒于英国伦敦,是著名的数学家.17世纪90年代,他发表了第一篇数学论文“论牛顿的流数物理”,引起了学术界的关注.18世纪30年代,棣莫佛被选为柏林科学院院士.在他的学术研究中,有一个影响非常广泛的研究成果——棣莫佛公式:若z1=r1(1+isinθ1),z2=r2(2+isinθ2),…,=(n+i),则z1z2…=r1r2…[cos(θ1+θ2+…+)+i].特别地,如果z1=z2=…==r(+i),那么[r(+i)]n=(+i).这个公式如何得到? 【提示】 乘方本质上是乘法运算,为了推导公式[r(+i)]n=(+i),需要探究复数的三角形式的乘法运算. 设计意图　通过数学史的呈现创设问题情境,引导学生由著名的棣莫佛定理,联想乘方与乘法之间的联系,提出复数的三角形式的乘法运算的问题,丰富学生的数学知识,激发学生的探究兴趣和探索欲望,为展开新课的探究活动营造一个良好的氛围. 任务1　探究复数的三角表示的乘法法则及其几何意义 活动1　推导复数的三角表示的乘法法则  问题1　我们已经掌握z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,如果z1=r1(1+isinθ1),z2=r2(2+isinθ2),你能计算出z1z2并将结果表示成三角形式吗? 【提示】 根据复数的乘法法则及两角和的正弦、余弦公式,可以得到z1z2=r1(1+isinθ1)·r2(2+isinθ2)=r1r2(1+isinθ1)(2+isinθ2)=r1r2[(12-sinθ1sinθ2)+i(sinθ12+1sinθ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 问题2　依据问题1中探究的结果,我们发现两复数的积仍为复数,你能发现积的模与两复数的模的关系吗?积的辐角与复数的辐角有什么关系? 【提示】 两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 问题3　由复数乘法的三角表示,你能得到复数乘法的几何意义吗? 　图1 【提示】 两个复数z1,z2相乘时,先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2,这就是复数乘法的几何意义.如图1.利用这一知识点,你能解出课时4情景导学中的问题吗? 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生利用复数代数形式的乘法法则推导出复数三角形式的乘法法则,再分析其结果所反映出的几何意义,使学生对复数的三角形式的乘法法则和几何意义有正确认识和理解,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　探究复数的三角形式的除法法则及其几何意义 活动2　推导复数的三角形式的除法法则  问题4　如果把复数z1,z2分别写成三角形式z1=r1(1+isinθ1),z2=r2(2+isinθ2),你能利用学过的复数除法法则计算并将结果表示成三角形式吗? 【提示】 == = =[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 问题5　我们知道除法运算是乘法运算的逆运算.我们能否根据复数乘法运算的三角表示得到复数的除法运算的三角表示? 【提示】 设z1=r1(1+isinθ1),z2=r2(2+isinθ2),且z1≠z2,∵r2(2+isinθ2)·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]=r1(1+isinθ1),∴=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)] 问题6　分析复数三角形式的除法所得商的结构,你能得到复数除法的几何意义吗? 　图2 【提示】 两个复数z1,z2相除时,先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O