第七章 7.3.1复数的三角表示式-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

7.3* 7复数的三角表示 课时5　复数的三角表示式  1. 借助复数与向量间的对应关系,建构并理解复数的三角表示形式. 2. 理解复数的辐角和辐角主值的概念,会求复数的辐角和辐角主值. 3. 了解复数三角形式和代数形式间的关系,会进行两种形式的互化. 课程目标 学科核心素养 了解复数三角表示式的推导过程,了解复数的三角表示式 在推导复数三角表示式的过程中,培养直观想象和逻辑推理等素养 理解复数的辐角和辐角主值的概念,会求复数的辐角和辐角主值 在求复数的辐角和辐角主值的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养 了解复数的代数形式与三角形式之间的关系,会进行两种形式之间的互化 在进行复数的两种表示形式互化的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 　　你听说过“数学中的天桥”公式吗?这便是欧拉公式:=+i,其中e是自然常数,i是虚数单位.之所以称其为天桥公式,是因为它把复数、指数函数、三角函数联系起来了,那么复数和三角函数之间是如何建立联系的? 【提示】 复数与向量之间具有一一对应的关系,向量的方向可以通过角度来刻画,所以,我们可以借助向量在复数与三角函数之间建立起联系. 设计意图　借助数学史的呈现创设问题情境,激发学生的好奇心理和探究欲望,引发学生思考和探究复数与三角函数之间存在着的联系,为引入复数的三角表示形式奠定基础,做好铺垫,使新课的探究学习活动有一个良好的开端. 任务1　探究复数的三角表示式  活动1　类比向量的两个要素得到表示复数的要素,进而得到复数的三角表示式  问题1　你能用向量的模和表达向量方向的角θ来表示复数z吗? 【提示】 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z的对应点为点Z,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.r是复数z的模,观察图1可得r=,a=r,b=r,所以z=r+ir=r(+i),其中θ叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角.z=r(+i)(r≥0)叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi(a,b∈R)叫做复数的代数形式. 图1 问题2　sin+icos是复数的三角形式吗?并说出你的理由. 【提示】 不是三角形式.结合图形,复数所对应点的横坐标对应于辐角的余弦值,纵坐标对应于辐角的正弦值.复数三角形式的结构为余弦在前,正弦在后. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从图象上直观感受向量的模及方向与向量横、纵坐标之间的关系,从而引进r,θ,引进三角函数来表达向量的坐标,建构起复数三角函数的三角式的概念,发展学生的直观想象与数学抽象等素养. 活动2　进一步认识复数的三角表示式  问题3　结合已掌握的辐角的概念,思考一个复数的辐角的值有多少个.这些辐角之间有联系吗? 【提示】 利用终边相同的角的特点,容易得出一个复数的辐角的值有无穷多个.这些辐角的值之间相差2π的整数倍. 问题4　若复数为0,它对应的向量为零向量,那么它的辐角是哪个角? 【提示】 复数0对应的是零向量,零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的. 问题5　复数辐角的多值性有时会给我们研究问题带来不便,为了使任意一个非0的复数都有唯一的值作为辐角的代表值,联系你学过的两向量所成角的范围,你认为这个代表值在哪个范围比较方便? 【提示】 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值作为辐角的主值比较方便.通常记作(0≤argz<2π). 问题6　根据以上的问题,请你思考三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么. 【提示】 z1=r1(1+isinθ1),z2=r2(2+isinθ2),则z1=z2⇔r1=r2且θ1-θ2=2kπ,其中k∈Z.或者可以概括为三角形式表示的两个复数相等的充要条件为模与辐角的主值都相等. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,使学生了解复数的辐角的多值性和辐角主值的唯一性,使学生对复数的辐角与辐角主值的概念形成正确的认识和理解,帮助学生进一步认识和理解复数的三角表示式,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　探究复数的三角形式和代数形式的互化  活动3　寻找复数的三角形式和代数形式之间的联系,得到两种形式的互化公式  问题7　复数的代数形式唯一吗?复数的三角形式呢? 【提示】 代数形式是唯一的,三角形式不唯一,例如1=cos0+isin0=cos2π+isin2π=… 问题8　复数的代数形式可以转化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式.设z=a+bi(a,b∈R),如何将z=a+bi(a,b∈R)转化为三角形式? 【提示】 联想复数的几何意义,可得r=,=,=,a+bi==(+i). 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生探究复数的代数形式与