第七章 7.2.2复数的乘、除运算-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时4　复数的乘、除运算  1. 掌握复数的乘法运算法则和复数的乘法运算的运算律,理解其与多项式乘法的联系. 2. 类比实数除法与乘法的关系得到复数除法运算法则,理解其本质是分母“实数化”. 3. 能正确地运用复数的乘法、除法运算的运算法则求解复数的乘法、除法的运算问题. 课程目标 学科核心素养 类比多项式的乘法认识和理解复数的乘法运算法则和复数的乘法运算的运算律 在理解复数乘法运算的法则和运算律的过程中,培养数学抽象和逻辑推理等素养 理解复数的除法是乘法的逆运算,掌握复数的除法运算的运算法则 通过对复数除法的意义和运算法则的学习和理解,培养直观想象和数学抽象等素养 能正确地运用复数的乘法、除法的运算法则求解有关复数乘法和除法运算的问题 在求解有关复数的乘法和除法运算问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 　　从前,有个富有冒险精神的年轻人,在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸,上面指出了一处宝藏.它是这样写的:乘船至北纬××,西经××,即可找到一座荒岛.岛的北岸有一大片草地,草地上有一棵橡树和一棵松树,还有一座绞架,那是我们过去用来吊死叛变者的.从绞架走到橡树,并记住走了多少步;到了橡树向右拐个直角再走相同步数,在这里也打个桩.然后回到绞架那里,朝松树走去,同时记住所走的步数;到了松树向左拐个直角再走那么多步,在这里也打个桩.在两个桩的正中间挖掘,就可找到宝藏.用复数的运算,你能求出宝藏的位置吗. 【提示】 注意向左、向右转一个直角再走相同步数在复平面内如何实现.按照多项式乘法的法则逐项相乘,然后合并同类项. 设计意图　通过与数学有关的趣味故事创设问题情境,引出复数乘法运算的话题,引发学生的思维活动,使学生学会用数学的眼光观察问题,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习热情,为开启新课的探究学习活动营造出一个生动活泼的课堂氛围. 任务1　类比实数的乘法得到复数的乘法法则  活动1　类比多项式相乘法则认识复数的乘法法则  问题1　我们知道a,b,c,d∈R,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd成立,依据数系扩充的规则,那么(a+bi)(c+di)如何计算? 【提示】(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. 问题2　依据问题1中探究的结果,两个复数相乘与两个多项式相乘有哪些联系? 【提示】 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可. 问题3　复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?请你试着证明. 【提示】 ① 复数的乘法满足交换律:z1z2=z2z1. 证明:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,z2z1=ca+cbi+dai+dbi2=(ca-db)+(da+cb)i,又ac-bd=ca-db,ad+bc=da+cb,∴z1z2=z2z1,即复数的乘法满足交换律. ② 复数的乘法满足结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3). 证明:设z1=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R).(z1z2)z3=[(ac-bd)+(ad+bc)i](e+fi)=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)i,z1(z2z3)=(a+bi)·[(ce-df)+(cf+de)i]=(ace-adf-bcf-bed)+(acf+ade+bce-bdf)i,∴(z1z2)z3=z1(z2z3),即复数的乘法满足结合律. ③ 复数的乘法对加法满足分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设z1=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi(a,b,c,d,e,f∈R).z1(z2+z3)=(a+bi)[(c+e)+(d+f)i]=(ac+ae-bd-bf)+(ad+af+bc+be)i,z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,z1z3=(ae-bf)+(af+be)i,z1z2+z1z3=(ac+ae-bd-bf)+(ad+bc+af+be)i,∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,即复数乘法对加法满足分配律. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生类比多项式的乘法法则和运算律推导复数的乘法法则和运算律,使学生对复数的乘法运算的运算法则和运算律形成正确的认识和理解,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　推导复数的除法法则  活动2　探究复数的除法法则  问题4　已知复数z=a+bi,=a-bi(a,b∈R).计算z. 【提示】 z=(a+bi)(a-bi)=-abi+abi-i2=+. 问题5　类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除