第七章 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

7.2 7复数的四则运算 课时3　复数的加、减运算及其几何意义  1. 通过类比多项式加法运算认识复数的加法运算,并理解加法法则规定的合理性. 2. 借助向量加法的几何意义,结合复数的向量表示方法理解复数加法的几何意义. 3. 类比实数减法与加法运算之间的关系,理解复数的减法运算法则及其几何意义. 课程目标 学科核心素养 理解复数加法运算的定义,了解复数的加法运算满足交换律与结合律 通过探究复数加法的定义和运算律,培养数学抽象和逻辑推理等素养 联系复数与复平面内以原点为起点的向量的对应关系,理解复数加法的几何意义 在探究复数加法的几何意义的过程中,培养数学抽象和直观想象等素养 类比实数减法与加法之间的关系,理解复数减法的运算法则及几何意义 在探究复数减法及其几何意义的过程中,培养直观想象和逻辑推理等素养 　　现有一张课桌记为O,甲同学用F1力竖直向上提,乙同学用F2力向右拽,若已测得F1=6 N,F2=8 N,∠F1OF2=.根据力的合成法则,利用勾股定理可得合力的大小为10 N. 借助复平面,设F1=0+6i,F2=8+0i,若F1+F2=8+6i,则==10,与实验的结果吻合.那么任意两复数的加法都能按上述规则进行运算吗?复数的加法符合平行四边形法则吗? 【提示】 任意两复数都可以按上述规则进行运算.复数的加法符合平行四边形法则. 设计意图　利用物理中力的合成创设问题情境,引导学生联想复数与向量之间的对应关系,由向量可以进行加法和减法运算,提出复数的加法和减法运算的问题,让学生体会知识间的内在联系,调动学生探究新知的积极性,为开展新课的学习活动营造良好的环境. 任务1　类比多项式的加法得到复数的加法法则、运算律和几何意义 活动1　探究复数的加法法则和运算律  问题1　由(2+3)+(1-4)=(2+1)+(3-4)=3-;(2+3x)+(4-5x)= (2+4)+(3-5)x=6-2x.类比猜想,复数的加法法则该如何规定呢? 【提示】 复数的加法法则本质是多项式运算中的合并同类项,可以规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 问题2　实数加法有交换律和结合律,那么复数的加法满足交换律和结合律吗?请给出证明. 【提示】 ① 复数的加法满足交换律:z1+z2=z2+z1. 证明:设z1=a1+b1i,z2=+i(a1,b1,,∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(+i)=(a1+)+(b1+)i.z2+z1=(+i)+(a1+b1i)=(+a1)+(+b1)i,又a1+=+a1,b1+=+b1,∴z1+z2=z2+z1,即复数的加法满足交换律. ② 复数的加法满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 证明:设z1=a1+b1i,z2=+i,z3=a3+b3i(a1,,a3,b1,,b3∈R).∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(+i)]+(a3+b3i)=[(a1+)+(b1+)i]+(a3+b3i)=[(a1+)+a3]+[(b1+)+b3]i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(+i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)+[(+a3)+(+b3)i]=[a1+(+a3)]+[b1+(+b3)]i,又(a1+)+a3=a1+(+a3),(b1+)+b3=b1+(+b3),∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),即复数的加法满足结合律. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生类比多项式的加法运算的法则和运算律,探究复数的加法运算的法则和运算律,使学生对复数的加法运算形成正确的认识和理解,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 活动2　类比向量加法的几何意义探究复数加法的几何意义  问题3　既然复数可以用复平面内的向量来表示,那么复数加法和向量加法是不是具有相同的几何意义呢?在复数的加法运算中,平行四边形法则仍然适用吗? 【提示】 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),它们在复平面内所对应的向量分别为,,即,的坐标形式为=(a,b),=(c,d).以,为邻边作平行四边形,则对角线对应的向量是,∴=+=(a+c,b+d),∴点Z为复数z1+z2对应的点,为复数z1+z2对应的向量.即复数加法和向量加法具有相同的几何意义.在复数的加法运算中,平行四边形法则仍然适用. 问题4　已知复数1+i对应的点为A,复数-2i对应的点为B,O为坐标原点,复数1-i对应的点为C.则四边形OACB的形状是平行四边形吗? 【提示】 ∵1-i=(1+i)+(-2i),∴=+,即四边形OACB是平行四边形. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生利用复数和向量之间一一对应的关系,将复数的相关问题转化为向量问题来研究,帮