第七章 7.1.2复数的几何意义-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时2　复数的几何意义  1. 了解复平面的概念,类比实数的几何意义理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量表示复数. 2. 类比向量的模的概念,理解复数的模的概念,能运用复数的几何意义和复数模的概念求解复数的有关问题. 3. 理解共轭复数和共轭虚数的概念,掌握共轭复数和共轭虚数的表示方法,会求已知复数的共轭复数. 课程目标 学科核心素养 理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量表示复数 通过建构复平面,运用复平面内的点表示复数,培养直观想象和数学抽象等素养 类比向量的模的概念,建构与理解复数的模的概念,掌握复数的模的求法 通过建构与理解复数的模的概念和求复数的模的大小,培养逻辑推理和数学运算等素养 理解共轭复数和共轭虚数的概念,掌握共轭复数的表示方法 在理解共轭复数的概念和求共轭复数的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养 　　1545年卡尔丹的著作中出现了负数开方问题;1637年,笛卡尔认为负数开方是“不可思议的”,称这样的数为虚数;后来,高斯给出了复数的几何解释,使复数不再显得那么虚无缥缈了,人们从此真正接受了复数.那么高斯是怎样给出复数的几何解释的呢? 【提示】 我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,实数可以用数轴上的点来表示,因此,运用类比实数和平面向量的方法可知,复数也可以用坐标平面内的点来表示. 设计意图　通过呈现数学史创设问题情境,借助类比实数引发学生思考,为引入复数的几何意义做好铺垫,激发学生的好奇心和求知欲,让学生了解数学的发展要经历漫长的探究过程,调动学生主动探究新知的热情,营造出一种良好的探究学习的氛围. 任务1　认识复数与点的对应关系,理解共轭复数的概念 活动1　通过有序实数对,建构复数与点的对应关系,理解共轭复数的概念  问题1　两个复数相等的充要条件表明,任何一个复数a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.那么,我们怎样用平面内的点来表示复数呢? 【提示】 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示. 问题2　我们知道,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.那么复数a-bi(a,b∈R)可以用什么来表示? 【提示】 点(a,-b). 问题3　复数z1=a+bi(a,b∈R)和复数z2=a-bi(a,b∈R),它们的实部和虚部有什么关系? 【提示】 它们的实部相等,虚部互为相反数.这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 问题4　如何表示一个复数的共轭复数? 【提示】 复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生类比实数与数轴上的点的对应在关系,探究有序实数对和复数一一对应的关系,理解复数的坐标表示和共轭复数的概念,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务2　认识复平面  活动2　类比直角坐标系,认识复平面  问题5　用来表示复数的直角坐标系有什么特征? 【提示】 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,其中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴. 问题6　实轴上的点与哪些复数对应? 【提示】 实轴上的点与实数对应. 问题7　虚轴上的点与哪些复数对应? 【提示】 除原点外,虚轴上的点与纯虚数对应. 问题8　若复平面内z=1+i,则这个复数对应的点在第几象限?各个象限内的点对应的复数是什么数? 【提示】 第一象限;为虚数,但不是纯虚数(非纯虚数). 问题9　在复平面内,复数与复平面内的点具有怎样的对应关系? 【提示】 在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应,这是复数的一种几何意义. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生建构复平面的相关概念,帮助学生进一步认识复数与复平面内的点之间存在的一一对应的关系,使学生理解和体会复数的几何意义,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务3　探究复数与向量的一一对应  活动3　通过点与向量的对应,探究复数与向量的对应关系,理解复数模的概念  问题10　我们知道平面直角坐标系中的点Z与以原点O为起点,以点Z为终点的向量是一一对应的.已知复数与平面直角坐标系中的点是一一对应的,那么复数能用平面向量来表示吗? 【提示】 因为复平面内的点Z(a,b)与以原点O为起点,以Z为终点的向量一一对应,所以我们也可以用向量来表示复数z=a+bi(a,b∈R). 问题11　我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离.任何一个向量都有模,它表示向量的长度.相应地,我们可以给出复数的模(