第六章 6.2.1向量的加法运算-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

6.2 6平面向量的运算 课时2　向量的加法运算  1. 经历由物理模型抽象为数学问题的过程,理解两个向量的和向量的含义,掌握向量加法运算的定义. 2. 理解向量加法的几何意义,会用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个向量的和向量. 3. 通过类比猜想、作图验证理解并掌握向量加法运算的交换律和结合律,会用它们进行向量的运算. 课程目标 学科核心素养 借助物理中的位移、力的合成等实例,理解向量加法的概念以及两个向量的和向量的含义 通过对向量加法的概念及两个向量的和向量的定义的学习,培养直观想象和数学抽象等素养 理解向量加法的几何意义,能运用平行四边形法则和三角形法则求两个向量的和向量 通过对向量加法的平行四边形法则和三角形法则的学习,培养直观想象和数学运算等素养 运用类比推理等方法理解并掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行向量的运算 通过探究和验证向量加法运算的交换律与结合律,培养数学抽象和逻辑推理等素养 我们知道,数可以进行运算,那么,向量是否也能像数一样进行运算呢?人们从位移的合成、力的合成得到启发引进了向量的加法.如图1,假设某人上午从点A到达了点B,下午从点B到达了点C.分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移.这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系呢? 图1 【提示】 上午的位移是,下午的位移是.一天的位移是上、下午两次位移,的和. 设计意图　通过生活中的实例创设物理情境,引导学生运用物理学中的位移模型,由位移的合成引入向量的加法运算的话题,帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题,激发学生探究向量的运算的兴趣与热情,为展开新课的学习活动营造出一个自然、和谐、生动、活泼的氛围. 任务1　学习平面向量的加法运算  活动1　探究向量的加法运算法则  问题1　数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?类比数的加法,猜想向量的加法,可以怎样定义向量的加法? 【提示】 可以类比物理中位移的合成来定义向量的加法. 问题2　由位移的合成,你认为可以如何进行两个向量的加法运算? 【提示】 从点A经点B到点C,经过两次位移,有+=. 问题3　当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时,如图2①,物体会沿着力或所在的方向运动吗?如果不会,物体的运动方向是怎样的? 图2 【提示】 不会沿着,所在的方向运动.类比力的合成(图2②),+=,会沿着的方向运动. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生运用类比的方法,由实数的加法运算的定义类比得出向量的加法运算的定义,借助物理中位移、力的合成的实例,由位移、力的合成的三角形法则和平行四边形法则,得出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 活动2　探究,,之间的关系  问题4　你能用有向线段表示出向量a,b,a+b吗? 【提示】 能,利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则,如图3,a=,b=,a+b=. 图3 问题5　,,之间有什么关系? 【提示】 利用向量加法的三角形法则,由三角形三边关系出发,可以得到:① 当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边);② 当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;③ 当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|),其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|,当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.综上所述,≤≤+. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生运用数形结合的方法发现和向量的模与两向量模的关系:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,获得其取等号的条件,渗透数形结合与分类讨论等数学思想方法,深化学生对加法运算法则的认识和理解,发展学生的直观想象和逻辑推理等素养. 任务2　理解向量加法的运算律  活动3　探究向量加法的运算律  问题6　实数的加法运算满足哪些运算律?这些运算律在解题中可以发挥怎样的作用? 【提示】 交换律、结合律.可以简化运算. 问题7　根据数的运算的学习经验,定义了一种运算后就需要研究相应的运算律,运算律可以有效地简化运算.你认为我们可以研究向量加法的哪些运算律? 【提示】 交换律、结合律. 问题8　怎样用数学符号表示向量加法的交换律与结合律? 【提示】 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=b+(b+c). 问题9　在向量加法的几何表示的基础上,你能否验证向量加法是否满足交换律和结合律? 【提示】 如图4①,作=a,=b,以AB,AD为邻边作▱ABCD,则=b,=a.因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如图4②,作=a,