第六章 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时15　余弦定理、正弦定理应用举例  1. 了解测量的方法和意义,熟悉仰角、俯角、方向角等有关测量方面的常用术语. 2. 能够运用余弦定理、正弦定理解决一些有关测量距离、高度和角度等实际问题. 3. 学会在实际应用问题中抽象或构造出三角形,建立起数学模型使问题获得解决. 课程目标 学科核心素养 了解测量的方法和意义,熟悉仰角、俯角、方向角等测量方面的常用术语 在了解测量的方法和意义,熟悉测量术语的过程中,培养直观想象和数学抽象等素养 能够运用余弦定理、正弦定理解决一些有关测量距离、高度和角度的实际问题 通过运用余弦定理、正弦定理解决生活实际中的测量问题,培养数学抽象和数学运算等素养 学会构造解三角形的数学模型,运用余弦定理和正弦定理解决实际问题 在构造解三角形模型解决实际问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 为了测量两个小岛之间的距离,侦察机沿水平方向在一条直线上进行测量(图1),此直线与两个小岛在同一个铅垂平面内,请设计一个方案测量出两小岛之间的距离. 图1 【提示】 如何把实际问题数学化?根据之前的学习,我们知道可以运用余弦定理和正弦定理求解有关三角形的边角.因此,设计测量方案的关键在于构造出一个恰当的三角形,将其转化为解三角形的数学问题. 设计意图　通过实际情境的创设,让学生了解“两点不可到达的距离问题”的实际背景,理解学习余弦定理、正弦定理对解决现实生活中测量问题的意义.使学生明确运用余弦定理、正弦定理求解三角形有关边角问题需要满足条件“知三求三且至少包含一条边”,为后面根据“可算可测”原则设计测量方案奠定基础. 任务1　测量两点不可到达的距离  活动1　探究用余弦定理、正弦定理解决两点不可到达的距离问题  问题1　根据我们的经验,可以通过构造三角形计算出A,B两点间的距离.该如何构建三角形?哪些量是可测的?哪些量是可算的? 【提示】 如图2,尝试构造两个三角形:△AMN和△BMN.△AMN中,MN,α,β,γ均可测,由正弦定理可算出AN,△BMN中,MN,β,γ,θ均可测,由正弦定理可算出BN,最后△ABN中,BN,AN均已算得,θ已测,由余弦定理可算得AB. 图2 问题2　在上述测量方案下,还有其他计算AB的方法吗? 【提示】 如图2,△ABM中,根据余弦定理得到AB,其中AM可在△AMN中算得,BM可在△BMN中算得. 设计意图　通过对上述问题的探索和研究,使学生明确实际测量问题要以“可测可算”为前提,“可测”是指实际能“到达”的测量,“可算”是指能运用余弦定理、正弦定理计算得到的边长或角.让学生体验将实际问题转化为数学问题的建模方法,发展学生的直观想象和数学建模等素养. 任务2　测量不可到达的高度  活动2　运用余弦定理、正弦定理解决不可到达的高度问题  问题3　如图3所示的角楼因为顶端和底部都不便到达,所以不能直接测量它的高度.为了确定测量方案,你会如何确定三角形? 图3 图4 【提示】 如图4,设角楼高为AB,找基准线CD,在△ADC中,CD,仰角∠ADC,仰角∠ACB可测,可得AC,从而有AB=AC. 问题4　在实际操作时,B,C,D三点共线不是一件容易的事情.你有其他方法吗? 【提示】 如图5,构造三角形,设角楼高为AB,在地面上找C,D两点,且B,C,D不在一条直线上.△ADC中,CD,∠ADC,∠ACD均可测,可算得AD,在Rt△ADB中,∠ADB可测,从而可算得AB. 图5 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生围绕测量底部不可达到的高度的测量问题,再次经历测量方案的探究过程,让学生体会如何应用“可算可测”原则设计测量方案,将实际问题转化为解三角形的问题,训练学生的理性思维,提高学生分析问题、解决问题的能力,发展直观想象和数学抽象等素养. 任务3　测量角度  活动3　运用余弦定理、正弦定理解决求角度问题  问题5　在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10 n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.则C船与B船相距多少n mile?C船在B船的什么方向? 图6 【提示】 用图形语言表达题意是解决此类问题的关键.在△ABC中明确AB,AC和∠BAC是已知量,BC,∠ABC为需要求解的量.因此由余弦定理和正弦定理得BC= n mile,∠ABC=45°,C船在B船的正西方向. 问题6　缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间. 【提示】 在△BCD中,BC和∠CBD是已知量,明确相遇时时间相同,因此设t h后缉私艇在D处追上走私船,CD=10t,BD=10t,由正弦定