第六章 6.4.3.2正弦定理-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时14　正弦定理  1. 从直角三角形出发,探究一般三角形的边与角之间的关系,归纳得出正弦定理. 2. 在证明正弦定理的过程中,理解正弦定理的结构特征,掌握正弦定理及其推论. 3. 学会根据问题的条件,灵活地运用正弦定理及其推论解决两类解三角形的问题. 课程目标 学科核心素养 通过类比直角三角形中边与角的关系,探究一般三角形的边角关系,得出正弦定理 在归纳、发现正弦定理的过程中,培养数学抽象和逻辑推理等素养 能运用不同的方法证明正弦定理,理解正弦定理及其推论的本质特征 在运用不同方法证明正弦定理的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 学会根据问题的条件,灵活地运用正弦定理及其推论求解有关解三角形的问题 在运用正弦定理及其推论解三角形的过程中,培养数学运算和数学建模等素养 我们初中学过“等边对等角,大边对大角,小边对小角”,它从定性的角度研究了边、角的关系,那么从量化的角度,三角形的边、角有什么关系呢?14世纪,数学家热尔松在其著作《正弦、弦与弧》中大胆地猜想所有的三角形都满足一个边、角的关系:在一切三角形中,一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比. 你能证明在直角三角形中,满足一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比的关系吗?你能帮助热尔松证明此关系对于一切三角形都成立吗? 【提示】 从特殊到一般,类比直角三角形,可以归纳、发现任意三角形中边与角的正弦之比的关系,再运用向量法、几何法等方法加以证明. 设计意图　通过情境导入,一方面让学生明确本课时探究的主旨:研究三角形边、角的数量关系,学生将再次经历从初中定性地探究三角形的边、角关系上升到定量地刻画三角形边、角关系的过程,揭示数学学习螺旋式的进阶过程.另一方面,引入数学史料,渗透数学文化,激发学习兴趣,为展开的新课学习活动营造出良好的氛围. 任务1　猜想和发现正弦定理,探究正弦定理的证明  活动1　猜想和发现三角形中的正弦定理  问题1　在Rt△ABC中,C=90°,满足一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比的关系吗? 【提示】 Rt△ABC中,=,=,所以有==c,而=1,所以Rt△ABC中==. 问题2　猜想在一般三角形中,边、角关系是否满足上述结论? 【提示】 可猜想:对所有三角形,有==. 问题3　可以用怎样的思路证明这一猜想呢? 【提示】 类比余弦定理的证明,继续用向量法探究上述边、角关系.在向量运算中,两个向量的数量积与长度、角度有关,这就启示我们可以用向量的数量积来探究. 问题4　数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦,如何实现转化? 【提示】 在锐角三角形ABC中可过点A作与垂直的单位向量j(图1),通过构造角之间的互余关系,把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 图1 问题5　j与的夹角为多少?j与的夹角呢?j与的夹角呢? 【提示】 j与的夹角为,j与的夹角为-C,j与的夹角为-A. 问题6　在上述条件下如何证明==. 【提示】 根据向量三角形法则:=+,两边同取与j的数量积:j·=j·(+),化简后得=,同理可得=,因此有==. 问题7　如果△ABC是钝角三角形,上述的结论还成立吗?该如何证明? 【提示】 成立.设A是钝角,过点A作与垂直的j(图2),同理可得==. 图2 问题8　从上面的探究中,你能得出怎样的结论? 【提示】 从上面的探究中,可以得出如下结论:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦都相等,即==.我们将之称为正弦定理. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从直角三角形中边与角的正弦关系出发,猜想和发现一般三角形中的边与角的关系,得出正弦定理,并尝试运用向量的方法证明正弦定理,帮助学生对正弦定理形成正确的认识和理解,熟悉正弦定理的结构特征,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 任务2　理解正弦定理的本质特征,探究正弦定理的推论 活动2　明晰正弦定理的适用条件  问题9　什么样的已知条件可以运用正弦定理? 【提示】 ① 已知两角和任一边,求其余的两边和一角;② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其余的边和角. 问题10　正弦定理有几种表达形式? 【提示】 问题6的分析过程揭示了正弦定理拆分后得三个等式:=,=,=,这种表达形式是最常用的;若令===k,则a=k,b=k,c=k,这个形式揭示了正弦定理把边化为角的作用;=,=,=,这个形式揭示了正弦定理把角化为边的作用. 问题11　你能知道上面的比值k的几何意义是什么吗? 【提示】 在直角三角形中,我们容易得到,这个比值k是直角三角形的斜边的长,也就是直角三角形的外接圆的直径2R.其实,对任意三角形,都有===2R(R为三角形外接圆的半径). 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生借鉴余弦定理的学习经验,探究正弦定理的适用条件