第六章 6.4.3.1余弦定理-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时13　余弦定理  1. 通过问题引导,类比勾股定理的向量法证明,经历用向量法探究余弦定理的过程. 2. 理解解三角形的概念,了解借助余弦定理及其推论可解两种题型的解三角形问题. 3. 能运用余弦定理在已知两边及其夹角或已知三边的条件下求出三角形的其他元素. 课程目标 学科核心素养 经历余弦定理的推导过程,体会向量的工具性作用,加深对向量运算的理解 在运用向量方法探究余弦定理的过程中,培养数学抽象及逻辑推理等素养 理解解三角形的概念,掌握余弦定理在解三角形中的两类应用 在学习解三角形的概念和余弦定理的两类应用的过程中,培养直观想象和数学抽象等素养 运用余弦定理在已知两边及其夹角或已知三边的条件下求出三角形的其他元素 在运用余弦定理求解两类解三角形的问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 　图1 勾股定理是一个重要的、基本的几何定理,有多种证明方法.我国古代数学家赵爽用了弦图(如图1)证明勾股定理.我们在现阶段的学习中已经体会到平面几何中的许多问题都可以用向量法加以解决,那么如何用向量法证明勾股定理呢? 【提示】 在直角三角形ABC中,两直角边对应的向量设为=a,=b,斜边对应的向量设为=c,则有a-b=c,两边平方,得-2a·b+=c2,因为a⊥b垂直,所以a·b=0,即+=c2,亦即BC2+AC2=AB2. 设计意图　借助数学史料创设问题情境,引导学生运用向量方法探究勾股定理的证明,一方面让学生进一步体会向量法在平面几何中的作用,为运用向量法推导余弦定理奠定基础、做好铺垫,另一方面,激发学生探究学习的兴趣和热情,为展开新课的探究学习活动营造出一个良好的氛围. 任务1　探究余弦定理及其证明方法  活动1　探究余弦定理的向量证明和结构特点  问题1　利用勾股定理,在直角三角形中已知两边可以直接求出第三边.那么在一般三角形中已知两边和夹角,也可以求出第三边吗?假设在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c? 图2 【提示】 设=a,=b,=c,则有c=a-b,则=(a-b)2=+-2·=+-2ab,所以c2=+-2ab. 问题2　那么怎样用b,c和A表示a?以及用a,c和B表示b呢? 【提示】 同理,可得=+c2-2bc,=+c2-2ac. 问题3　你能用文字语言阐述上述结论吗? 【提示】 “三角形一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”.这样,设在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则有=+c2-2bc,=+c2-2ac,c2=+-2ab.这三个公式反映了三角形中的边与角之间的一种重要的关系,我们称之为余弦定理. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生由熟悉的勾股定理出发,运用向量的方法探究得出余弦定理,让学生明确余弦定理的内容、结构特征和推导方法,对余弦定理形成正确的认识和理解,使学生进一步体会向量的工具作用,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 活动2　探究余弦定理的其他证明  问题4　你能用其他方法证明余弦定理吗? 【提示】 几何法.分锐角三角形、钝角三角形和直角三角形进行讨论.以锐角三角形为例:如图3,锐角△ABC中,BD⊥AC, 　图3 BC2=CD2+BD2=(AC-AD)2+BD2=AC2-2AC·AD+AD2+BD2=AC2+AB2-2AC·AD,又因为AD=AB,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,即有=+c2-2bc.同理可得:=+c2-2ac,c2=+-2ab. 问题5　还有其他证明方法吗? 【提示】 坐标法.如图4建立平面直角坐标系,设三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则有B(c,0).不论内角A是锐角、钝角还是直角,由三角函数的定义知,C(b,b),据两点之间的距离公式有=BC2=(c-b)2+(-b)2,整理后得=+c2-2bc.同理可得:=+c2-2ac,c2=+-2ab. 图4 问题6　已知三角形三条边长,如何求角呢? 【提示】 由余弦定理,可得余弦定理推论:=,=,=. 问题7　你觉得余弦定理及其推论与“SAS”和“SSS”判定三角形全等有什么关系? 【提示】 “SAS”和“SSS”本质上说明三角形两边一夹角确定或者三边确定,则这个三角形是唯一确定的,是一种定性的分析.而余弦定理及其推论,则从数量化的角度确定了这种唯一性,是一种定量分析. 问题8　余弦定理与勾股定理又有什么关系? 【提示】 余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例.在余弦定理c2=+-2ab中,若C=90°,=0,则c2=+,即勾股定理. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从不同角度探究余弦定理的证明方法,让学生经历数学问题本质的探究过程,拓展学生的思维,通过对比“