第六章 6.4.1平面几何中的向量方法-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

6平面向量的应用 课时11　平面几何中的向量方法  1. 了解向量的模与线段的长度之间的关系,能运用向量的模长公式求解几何图形中的长度问题. 2. 理解向量的夹角与几何图形角度的关系,能运用向量的夹角公式求解几何图形中的角度问题. 3. 掌握向量共线与垂直的充要条件,能运用这两个充要条件求解几何图形中的平行与垂直问题. 课程目标 学科核心素养 能运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题 在运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题的过程中,培养直观想象与数学运算等素养 能运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题 在运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题的过程中,培养数学抽象与数学运算等素养 能运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题 在运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题的过程中,培养数学运算与逻辑推理等素养 某景点为了开发旅游项目,需要在一条东西走向的河道上设置一处摆渡船.如图1,摆渡船码头位于河道两边的点P,Q处,且Q在P的正北方,P与Q之间的距离为2.5 km.为了保证摆渡船能够顺利到达对岸,每天都需根据水的速度来确定船的速度.某一日测得当天水的速度为自西向东3 km/h,而摆渡船的单程时间为15 min,求小船的速度和∠QPG的正切值.(设船航行的方向为的方向,∠QPG=θ,速度为v) 图1 你能将此情境中的现实问题转化为数学问题吗? 【提示】 可转化为数学中向量的模长与向量的夹角的计算问题,从而可以借助向量的运算使之获得解决. 设计意图　通过实际生活的具体实例创设问题情境,引导学生探索其与平面向量之间的联系,揭开平面几何中的向量方法的神秘面纱,让学生感受到向量不仅可以解决普通的平面几何问题,给我们的研究带来新的思路,也可以解决生活中向量的运算问题,激发学生对学习向量法的兴趣,为展开新课的探究学习活动营造出一个良好的氛围. 任务1　平面几何中的向量方法初探  活动1　体会向量法在几何证明中的应用  问题1　情境导学中的量(速度、距离)有什么特点? 【提示】 有大小,有方向. 问题2　情境中的数学语言如何转化为几何语言? 【提示】 点Q在P的正北方,即PG在河北岸的正投影为QG. 问题3　对于这样的几何语言,我们如何用向量工具来表示它们? 【提示】 ||·cos∠PGQ=||. 问题4　 你能处理情境中的问题吗? 【提示】 在Rt△PQG中,|v|cos=3,|v|==10,于是|v|2(sin2θ+cos2θ)=32+102,|v|=,=. 问题5　在平面几何中,如何判定两直线平行或垂直?平面向量中,如何判定两直线平行或垂直? 【提示】 在平面几何中,判定两直线平行,通常用同位角、内错角等判断,判定两直线垂直通常判定两直线的夹角为90°,有时要用到全等、相似等知识.平面向量中判定平行或垂直的办法是利用向量垂直、共线的表达式. 问题6　两种方法的区别是什么? 【提示】 几何法是运用平面几何的知识解决问题,向量法是通过向量的线性运算或数量积运算转化为代数方法来解决几何问题. 设计意图　带领学生对情境进一步探究,理解平面几何中的向量方法. 任务2　探究平面几何中的向量方法与几何法  活动2　探究向量证明和几何证明的方法  问题7　如何证明圆的直径所对的圆周角是直角呢?如图2,已知AB是圆O的直径,求证:∠ACB=. 图2 【提示】 几何法证明:连接CO,∵CO=OA,CO=BO,∴∠CAB=∠OCA, ∠OCB=∠CBA.∵∠CAB+∠OCA+∠OCB+∠CBA=π,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=. 问题8　如何用向量语言来描述∠ACB为直角呢? 【提示】 两个向量的数量积为0. 问题9　 若利用两个垂直向量的数量积为0直接计算,则需要我们去找一组非零不共线向量作为基底;若用两个向量坐标计算数量积为0,则需要建立直角坐标系.请同学们动手尝试一下. 【提示】 此处要注意是两个非零向量.方法1:如图3,∵=-,=-.=-,∴·=-=0.方法2:如图4,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,设B(r,0),A(-r,0),C(r,r),则=(r+r,r),=(r-r,r),计算可得·=0. 图3　　　　　　　　　　　　图4 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,用学生熟知的数学问题,搭设平面几何中直角的概念与平面内两个向量数量积为0的桥梁,让学生借助生活中的实例感受用向量语言来描述平面几何元素关系的过程,帮助学生打开用向量法证明平面几何问题的大门,开拓学生的思维,发展学生的直观想象与数学抽象等素养. 知识点平面向量基本定理、共线向量定理和两个向量相等的充要条件 重难点用向量方法解决平面图形中的平行与共线问题 　例1 [教材改编题]如