第六章 6.3.5平面向量数量积的坐标表示-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时10　平面向量数量积的坐标表示  1. 理解平面向量数量积的坐标表示的方法,能熟练地进行平面向量的数量积的坐标运算. 2. 了解平面向量坐标表示的模长与夹角公式,会求解几何图形中长度和角度的计算问题. 3. 掌握用坐标表示的平面向量垂直的充要条件,能熟练求解有关几何图形中的垂直问题. 课程目标 学科核心素养 理解平面向量数量积的坐标表示的方法,熟练地掌握平面向量数量积的坐标表示 通过探究平面向量数量积的坐标表示,培养数学抽象和数学运算等素养 能运用平面向量数量积的坐标表示解决几何图形中的长度和角度的计算问题 通过运用平面向量中的坐标表示求解长度和角度问题,培养直观想象和数学运算等素养 学会运用坐标表示的平面向量垂直的充要条件来求解平面图形中的垂直问题 通过运用坐标表示平面向量垂直的充要条件,培养数学运算和逻辑推理等素养 如图1,要在矩形ABCD的花园中,铺设两条互相垂直的观赏线路AC和BE.已知点E在边AD上,AB=300 m,BC=400 m,怎样确定点E的位置? 图1 【提示】 由题意,如图2,建立直角坐标系,则AB=300,BC=400,则A,B,C.设E(a,300),则=,=,因为BE⊥AC,所以·=0,即·(a,300)=0. 图2 为了解决这一问题,需要进行向量的数量积的坐标运算,求出a的值. 设计意图　通过学生熟悉的生活实际中的具体实例创设问题情境,引导学生探究解决问题的方法,进行理性的思考,引起认知上的冲突,自然而然地提出平面向量的数量积坐标表示的问题,让学生感受向量的数量积坐标表示的必要性,为展开新课的探究学习活动营造出一个良好的氛围. 任务1　探究平面向量数量积的坐标表示  活动1　探究平面向量数量积的坐标表示  问题1　平面向量的数量积是怎样定义的?学习了平面向量的坐标表示后,平面向量的数量积能否用坐标来表示? 【提示】 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|叫做向量a和b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|.平面向量的数量积能用坐标来表示. 问题2　已知两个非零向量a=(,),b=(,),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? 【提示】 ∵a=i+j,b=i+j,∴a·b=(i+j)·(i+j)=+i·j+i·j+.∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=+. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生根据已经学习过的向量的加、减以及数乘运算的坐标表示,联想能否用坐标表示向量数量积的运算,让学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算推导出向量数量积的坐标表示的方法,发展学生的数学抽象和数学运算等素养. 注意事项: 除了记住公式外,建议引导学生理解公式的推导过程. 任务2　学习向量模与夹角的坐标表示  活动2　探究向量模与夹角的坐标表示  问题3　怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的充要条件? 【提示】 设a=(,),b=(,),则a⊥b⇔+=0. 问题4　若a=(x,y),你能否根据所学知识求出向量a的长度? 【提示】 若a=(x,y),则=+,或|a|=. 问题5　如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,), 你能求出向量a的模吗? 【提示】 a=(-,-),|a|= 问题6　设a,b都是非零向量,a=(,),b=(,),你能表示出a,b的夹角公式吗? 【提示】 设θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得==. 问题7　你能解决开始的问题吗? 【提示】 由(400,-300)·(a,300)=0,即400a-90 000=0,解得a==225.即点E的位置在边AD上且距离点A 225 m处. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从向量数量积的坐标表示出发,逐步推导出向量的模长和夹角公式及垂直的充要条件的坐标表示,让学生初步尝试运用向量数量积的坐标运算解决向量的数量积问题,体会向量数量积的坐标表示的应用,发展数学抽象和逻辑推理等素养. 知识梳理 1. 平面向量数量积的坐标表示 若a=(,),b=(,),则a·b=+,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2. 向量的模长公式 若a=(x,y),则|a|=. 3. 向量的夹角公式 设a,b都是非零向量,a=(,),b=(,),θ是a与b的夹角,则==. 4. 两向量垂直的充要条件 设非零向量a=(,),b=(,),则a⊥b⇔+=0. 知识点数量积的坐标表示 重难点运用数量积的坐标表示进行计算 [2021·安徽省蚌埠市第三中学高一月考]已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10. (1) 求a的坐标; (2) 若c=(2,-1),求a·(b·c)及(a·b)·c. 利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案. (1) 设