第六章 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时9　平面向量数乘运算的坐标表示  1. 理解用坐标表示的平面向量的数乘运算的意义,掌握用坐标表示的向量的数乘的运算法则. 2. 理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件,体会用坐标表示的向量共线条件的推导方法. 3. 能借助用坐标表示的平面向量共线的充要条件解决有关平面向量共线以及三点共线等问题. 课程目标 学科核心素养 理解平面向量的数乘运算的坐标表示的意义,掌握用坐标表示的向量的数乘的运算法则 通过用坐标表示的平面向量的数乘运算的探究学习,培养数学抽象和直观想象等素养 理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件,体会用坐标表示的向量共线条件的推导方法 通过用坐标表示的向量共线的充要条件的探究学习,培养数学抽象和数学运算等素养 理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件,并会解决向量共线和三点共线等问题 通过用坐标表示的向量共线的充要条件的应用,培养数学运算和逻辑推理等素养 “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年,如图1,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,且AB=3,E为AD上一点,AE=.若=λ+,如何求λ+的值呢? 图1 【提示】 如图2,建立平面直角坐标系,∵AB=3,BC=4,AE=,∴A(0,3),B(0,0),C(4,0),E,则=(4,-3),=,由=λ+,得=λ(0,3)+(4,0),要求λ+的值,就要对λ(0,3)+(4,0)进行运算,即要做向量数乘的坐标运算. 图2 设计意图　通过西周时期的数学家商高发现勾股定理的数学史料创设问题情境,一方面渗透数学文化,培养学生热爱数学、热爱祖国的情怀,另一方面,引入平面向量数乘运算的坐标表示的学习这一话题,为展开新课的探究学习活动奠定基础、作好铺垫. 任务1　探究平面向量的数乘运算的坐标表示  活动1　探究平面向量数乘运算的坐标表示  问题1　已知a=(2,1),如何求3a的坐标?你能由此得出更一般的结论吗? 【提示】 3a=3(2i+j)=3×2i+3×1j=6i+3j.即3a=(3×2,3×1)=(6,3).一般地,设a=(x,y),λ∈R,则有λa=λ(x,y)=λ(xi+yj)=λxi+λyj=(λx,λy). 问题2　在平面直角坐标系中,已知=(x,y),怎样表示λ的坐标? 【提示】 λ=λ(xi+yj)=λxi+λyj, 即λ=λ(x, y)=(λx,λy).即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 问题3　已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标. 【提示】 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从特殊到一般,根据平面向量坐标表示与数乘运算的意义推导出平面向量数乘运算坐标表示的法则,再借助具体的实例让学生体会这一法则的运用,对掌握平面向量的数乘运算的坐标法则形成正确的认识和理解,发展学生的数学抽象和数学运算等素养. 任务2　向量共线的坐标表示  活动2　探究向量共线的充要条件的坐标表示  问题4　若a=(,),b=(,)(≠0),那么由=能否得到向量a,b共线? 【提示】 能.由=,可得=,则(,)=(,),令λ=,有b=λa,根据两个向量共线的充要条件,可得向量a,b共线. 问题5　如果向量a,b共线,那么其坐标满足什么关系? 【提示】 设a=(,),b=(,),其中b≠0,如果a,b共线,那么存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(,)=λ(,),即消去λ后得-=0,即如果向量a=(,),b=(,)共线,则其坐标满足的条件是-=0. 问题6　若a=(,),b=(,),那么=是向量a,b共线的什么条件? 【提示】 -=0与=是等价的,但这与=是不等价的.因为当==0时,-=0成立,但和均无意义.因此=是向量a,b共线的充分不必要条件. 问题7　设a=(,),b=(,),其中b≠0,则a∥b的充要条件是什么? 【提示】 -=0. 问题8　现在你能解决情境导学中的问题吗? 【提示】 由=λ+,得=λ(0,3)+(4,0),所以解得所以λ+=. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,从学生熟悉的知识出发,层层推进,引导学生推导用坐标表示的平面向量共线的充要条件,使学生对平面向量的坐标表示和用坐标表示的平面向量共线的充要条件形成正确的认识和理解,为解决向量共线问题奠定基础,发展数学抽象和逻辑推理等素养. 注意事项: 以下几个注意点要让学生充分理解: ① 消去λ时不能两式相除,因为,有可能为0,而b≠0,所以,中至少有一个不为0;② 充要条件不能写成=(,有可能为0);③ 向量共线的充