第六章 6.3.2平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时8　平面向量的正交分解,平面向量及其加、减运算的坐标表示  1. 了解平面向量的正交分解的概念,能根据平面向量的正交分解的意义理解平面向量的坐标表示. 2. 理解平面向量的坐标表示与点的坐标表示之间的联系与区别,掌握平面向量的坐标表示的方法. 3. 掌握坐标表示的平面向量加法运算和减法运算的运算法则,会求两个坐标表示的向量的和与差. 课程目标 学科核心素养 了解平面向量正交分解的概念,理解平面向量的坐标表示的意义 通过对平面向量的正交分解以及坐标表示的学习,培养数学抽象和直观想象等素养 理解平面向量的坐标表示与点的坐标表示之间的联系与区别,掌握平面向量坐标表示的方法 在探究向量坐标表示与点的坐标表示之间关系的过程中,培养直观想象和数学运算等素养 掌握两个平面向量加、减运算的坐标表示的方法,并能进行坐标表示的向量的加、减运算 在求解坐标表示的平面向量的加、减运算的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 如图1,光滑斜面上一个木块受到的重力为G,沿斜面方向的分力为F1,木块对斜面的压力为F2.易知F1和F2互相垂直,G可以分解为F1和F2. 图1 对力进行正交分解,即把力在两个互相垂直的方向上进行分解,这是解决力学问题的一种十分重要的手段. 如果,是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a可以用,表示.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们的研究带来方便呢? 【提示】 如果选取互相垂直的向量作为基底,则平面上任意向量都可以用这组基底唯一表示出来,从而可以得到平面向量的坐标表示的方法,为研究平面向量及其应用带来便利. 设计意图　通过物理学中力的分解的具体实例创设问题情境,引导学生思考选取两个互相垂直的平面向量作为基底向量,用其表示平面内的任意向量的问题,引出平面向量的正交分解和坐标表示的话题,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习热情,为展开新课的探究学习活动作好铺垫、奠定基础. 任务1　理解平面向量的正交分解与坐标表示的意义  活动1　认识平面向量的正交分解与坐标表示  问题1　你能由物理学中的力的正交分解得出平面向量的正交分解的概念吗? 【提示】 类比物理学中的力的正交分解,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 问题2　你能利用向量的正交分解给出平面直角坐标系中一个向量坐标的定义吗? 【提示】 如图2,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)　①,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,①式叫做向量a的坐标表示. 图2 问题3　正交分解与平面向量基本定理有何联系? 【提示】 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(作为基底的两个向量互相垂直时). 问题4　你能得出向量i,向量j和0向量的坐标吗? 【提示】 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 问题5　在平面直角坐标系中,一个向量与其坐标是不是一一对应的? 【提示】 是的,平面向量是可以自由平移的,所以将向量起点固定在原点后,一个向量和坐标是一一对应的. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生类比物理学中力的正交分解建构平面向量的正交分解的概念,由此得出起点在坐标原点的向量的坐标表示的方法,使学生对平面向量的正交分解和坐标表示的意义形成正确的认识和理解,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务2　探究平面向量加、减运算的坐标表示  活动2　探究平面向量加、减运算的坐标表示  问题6　已知a=(,),b=(,),你能得出a+b和a-b的坐标表示吗? 【提示】 a+b=(i+j)+(i+j)=(+)i+(+)j=(+,+),同理可得a-b=(i+j)-(i+j)=(-)i+(-)j=(-,-). 问题7　如图3,在平面直角坐标系中,怎样表示+的坐标? 图3 【提示】 +=(i+j)+(i+j)=(+)i+(+)j,即+=(+,+),即两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 问题8　在图3的平面直角坐标系中,怎样表示的坐标? 【提示】 = -=(i+j)-(i+j)=(-)i+(-)j,即= -= (-,-),即两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 问题9　与的坐标表示相同吗?若A(,),B(,),则“=(-,-)”对吗? 【提示】 不相同,若A(,),B(,),则=(-,-),而=(-,-). 问题10　由问题9你能得到什么结论? 【提示】 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终