第六章 6.3.1平面向量基本定理-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

平面向量基本定理及坐标表示 课时7　平面向量基本定理  1. 理解平面向量基本定理,了解平面里任一向量都可以用两个不共线的向量线性表示. 2. 理解平面向量的基底的意义和作用,学会选择适当的基底来表示平面里的任一向量. 3. 能够灵活地运用平面向量基本定理解决有关平面图形中的长度与角度计算等问题. 课程目标 学科核心素养 理解平面向量基本定理及其意义,平面里任一向量都可以用两个不共线的向量线性表示 在探究与理解平面向量基本定理的过程中,培养直观想象与数学抽象等素养 理解平面向量的基底的意义和作用,学会选择适当的基底来表示平面里的任一向量 在运用平面向量的基底表示平面内任意向量的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养 能够灵活地运用平面向量基本定理解决平面图形中的长度与角度计算等问题 在运用平面向量基本定理解决长度、角度计算问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:如图1,将一线段AB分为线段AC,CB,使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项,即满足==,后人把这个数称为黄金分割数,把点C称为线段AB的黄金分割点.如图2,在△ABC中,若点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,设=+,=+,如何求,,,的值呢? 图1 图2 【提示】 解决这一问题的关键就是如何将向量,分别用向量,表示. 设计意图　借助古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时提出的分线段的“中末比”问题创设问题情境,在渗透数学文化的同时,自然地引入如何用平面内的两个不共线的向量表示平面内的另一向量的问题,激发学生的学习兴趣,调动学生的探究热情,为展开新课的学习活动营造出一个良好的氛围. 任务1　探究平面向量基本定理  活动1　利用平面内不共线的两个向量表示平面内任一向量  问题1　我们已经学习了向量的线性运算及其几何意义,如果将一个平面内的向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这个平面内两个同起点的不共线向量来表示呢? 【提示】 可以,设,是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,通过作图可得a可用,表示. 问题2　给定平面内任意两个不共线的向量,,请你作出向量3+2,-2. 【提示】 利用向量的线性运算的法则作图,图形略. 问题3　平面内的任一向量a是否都可以用形如+(,不共线)的向量表示呢? 【提示】 可以.如图3,在平面内任取一点O,作=,=,=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数,,使得=,=.由于=+,所以a=+.也就是说,任一向量a都可以表示成+的形式. 图3 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从特殊到一般,运用平面向量的加法、减法与数乘运算的运算法则,探究平面内任一向量能否用平面内不共线的两个向量线性表示的问题,使学生体会平面内任一向量a都可以表示成+的形式,发展直观想象与数学抽象等素养. 活动2　理解平面向量基本定理  问题4　你能归纳活动1探究的结论吗? 【提示】 如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数,,使a=+. 问题5　我们把上述结论称为平面向量基本定理,你能说说平面向量基本定理的意义吗? 【提示】 由平面向量基本定理可知,对于平面内的任一向量,都可以用平面内的两个不共线的向量线性表示,并且这种表示是唯一的.这为我们运用平面向量解决具体问题提供了极大的方便.我们把上述结论中不共线的两个向量,叫做表示平面内任意向量的一组基底. 问题6　{,}可作为平面向量的一个基底的条件是什么? 【提示】 ,不共线. 问题7　当基底{,}给定时,分解形式唯一吗? 【提示】 唯一.当基底{,}给定时,有且只有一对实数,,使a=+. 问题8　平面向量基本定理的作用是什么? 【提示】 由此定理可将平面内任一向量a在给定基底{,}下进行分解,而且这种分解是唯一的.这给我们研究问题带来了极大的方便. 问题9　若向量a与b不共线,λ,∈R,你能得出向量λa+b=0的充要条件吗? 【提示】 由平面向量基本定理,可得λa+b=0的充要条件是λ=0且=0. 问题10　现在你能解决情境导学中提出的问题吗? 【提示】 如图2,=+=+=+(-)=+=+.同理,=+=+=+(-)=+,所以==,==. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,帮助学生正确的认识和理解平面向量基本定理及基底向量的概念,体会平面向量基本定理和基底向量的作用,为应用平面向量基本定理解决平面图形中有关长度和角度的计算、平行与垂直的证明等问题奠定基础、作好铺垫,发展数学运算和逻辑推理等素养. 知识梳理