第六章 6.2.4向量的数量积-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时5　向量的数量积(1)  1. 了解两个非零向量的夹角的概念,会求两个非零向量的夹角,掌握两个向量垂直的定义. 2. 理解平面向量的数量积以及投影向量的概念,会求一个向量在另一个向量上的投影向量. 3. 掌握向量数量积的性质,会求向量的数量积,能用数量积的性质处理长度和角度等问题. 课程目标 学科核心素养 了解两个非零向量的夹角和两个向量垂直的定义,并会求两个非零向量的夹角 通过对向量的夹角和向量垂直的定义的学习,培养直观想象和数学抽象等素养 理解平面向量的数量积和投影向量的概念,会求一个向量在另一个向量上的投影向量 通过对向量的数量积和投影向量的概念学习,培养直观想象和逻辑推理等素养 掌握向量的数量积的基本性质,会求向量的数量积,能用数量积的处理长度、角度等问题 在运用向量数量积的定义和性质处理有关问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 如图1,大力士拉车,沿着绳子方向上的力为F,车的位移是s,力和位移的夹角为θ.该大力士所做的功是多少? 图1 【提示】 W=F·s=. 设计意图　从物理学中力所做的功的实例出发创设问题情境,调动学生头脑中的已有认知,引发学生的数学思考,顺其自然地引入向量数量积的概念,揭示出向量数量积的物理背景,激发学生探究和学习平面向量的数量积的兴趣,为新课的展开做好铺垫、奠定基础. 任务1　理解两个非零向量的夹角和向量的数量积的定义 活动1　探究两个非零向量的夹角和向量数量积的概念  问题1　为了研究向量的数量积,我们先要弄清楚两个非零向量的夹角的概念,那么什么是两个非零向量的夹角呢? 【提示】 如图2,已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 图2 问题2　两个非零向量的夹角有哪些特殊情况?两个非零向量的夹角的取值范围是什么? 【提示】 (1) 两个非零向量的夹角θ有下面的三种特殊情形:① 当θ=0时,向量a与b同向; ② 当θ=时,向量a与b垂直,记作a⊥b; ③ 当θ=π时,向量a与b反向. (2) 两个非零向量的夹角θ的取值范围是0≤θ≤π. 问题3　在W=F·s=|F||s|中,从向量运算的角度,你想到了什么? 【提示】 从向量运算的角度来看,功可以认为是两个向量相乘的一种运算. 问题4　按照上述所说的乘法的结果还是向量吗? 【提示】 结果是两个向量模的积再乘以这两个向量夹角的余弦值,不再是向量,而是一个数量. 问题5　你能给出更一般的情形的结论吗? 【提示】 一般地,定义两个非零向量a和b的乘法a·b=|a||b|,其中θ是a和b的夹角.我们称之为向量a与b的数量积. 问题6　两个向量的数量积的结果还是向量吗?零向量与其他向量的数量积是什么呢? 【提示】 两个向量的数量积的结果不再是向量了,而是一个数量.规定零向量与任一向量的数量积为实数0. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生由物理中功的计算,引出两个非零向量的夹角、向量的垂直和数量积的概念,使学生明确向量的数量积与向量线性运算的区别,帮助学生对两个非零向量的夹角、向量的垂直和数量积的概念形成正确的认识和理解,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 让学生注意计算数量积需要用到两向量的模与夹角,同理,也可以利用数量积计算两向量的夹角. 任务2　理解投影向量  活动2　建立投影向量的概念  问题7　在数量积的定义中,怎样从几何上理解|a|? 【提示】 |a|是向量a在b方向上的投影向量的长度. 问题8　当θ分别为锐角、直角、钝角时,向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向之间有何关系? 【提示】 如图3,当θ为锐角时,投影向量与向量b的方向相同;当θ为钝角时,投影向量与向量b的方向相反;当θ为直角时,投影向量为0. 图3 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生探究投影向量的概念,使学生能求出一个向量在另一个向量上的投影向量,得出向量数量积的几何意义,帮助学生从数与形两个角度认识向量的数量积运算,深化学生对向量数量积的理解,发展直观想象和数学抽象等素养. 任务3　掌握平面向量数量积的基本性质  活动3　探究向量数量积的基本性质  问题9　你能由向量数量积的定义得到向量数量积的哪些性质? 【提示】 由向量数量积的定义,可以得到向量数量积的如下重要性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ(0≤θ≤π),e是与b方向相同的单位向量,则(1) a·e=e·a=|a|.(2) a⊥b⇔a·b=0.(3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=或|a|=.(4) |a·b|≤|a||b|.(5) =. 问题10　两个非零向量的数量积的性质有哪些应用? 【提示】 应用相当广