第六章 6.2.3向量的数乘运算-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时4　向量的数乘运算  1. 了解向量数乘运算和线性运算的定义,理解向量数乘运算的几何意义和运算律. 2. 能熟练地运用向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律进行向量的线性运算. 3. 理解向量共线定理,会用向量共线定理求解有关两个向量共线和点共线的问题. 课程目标 学科核心素养 通过类比向量的加法运算,认识和理解向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律 在认识和理解向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律的过程中,培养数学抽象和数学运算素养 能熟练地运用向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律进行向量的线性运算 在运用向量数乘的定义、几何意义和运算律求解向量问题的过程中,培养直观想象和数学运算等素养 理解并掌握向量共线定理,能熟练地运用向量共线定理求解有关向量共线与点共线的问题 在运用向量共线定理求解向量共线和点共线的问题的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂蚁向东运动1 s的位移对应的向量为a,那么它在同一方向上运动3 s的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?蚂蚁向西运动3 s的位移对应的向量又怎样表示?是-3a吗?你能用图形表示吗? 设计意图　从生活中的实际问题出发创设情境,引导学生回顾向量的概念,抓住向量所具有的“大小”和“方向”这两个要素分析情境中的问题,从直观上感知向量数乘的意义,引导学生的理性思考,激发学生对向量数乘运算的兴趣,为展开新课的学习活动奠定基础、作好铺垫. 任务1　掌握向量的数乘运算  活动1　探究向量数乘运算  问题1　已知非零向量a,你能作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)吗? 【提示】 如图1,设===a,===-a,则=++=a+a+a. =++=(-a)+(-a)+(-a). 图1 问题2　通过上述作图,你能发现什么? 【提示】 类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a. 问题3　将上述情况推广到一般,能得到什么结论? 【提示】 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa. 问题4　λa是一个向量,它的长度是什么呢?λa与a的长度与方向有何关系? 【提示】 |λa |=|λ ||a |.当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0 时,λa与a的方向相反. 问题5　类比实数乘法的运算律,写出向量数乘运算可能满足的运算律.通过几何作图的方式逐一验证该运算律. 【提示】 向量数乘运算律:① λ(a)=(λ)a=(λ)a=(λa);② (λ+)a=λa+a;③ λ(a+b)=λa+λb.特别地,λ(-a)=(-λ)a=-(λa).验证略. 问题6　你能由向量数乘的运算律化简(λ-)a和λ(a-b)吗? 【提示】 (λ-)a=λa+(-)a=λa-a;λ(a-b)=λa+λ(-b)=λa-λb. 问题7　向量的加、减、数乘运算的结果是什么? 【提示】 向量的加、减、数乘运算的结果仍为向量.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a与b,以及任意实数λ,1,2,λ(1a±2b)=λ1a±λ2b. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生借助具体实例,直观感知向量数乘运算的意义,在此基础上建构起向量数乘运算的定义,认识向量的数乘运算的几何意义,再类比实数的乘法运算得到向量数乘运算的运算律,让学生体会从特殊到一般和类比的思想方法,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 学生通过类比容易猜想结果,但需要点拨学生通过作图进行验证.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义. 任务2　学习向量共线定理  活动2　探究向量共线定理  问题8　由向量的几何意义及向量数乘的定义,你能发现λa与a之间的位置关系吗? 【提示】 用有向线段表示向量后,λa与a共线. 问题9　怎样定义两向量共线?与两直线平行有什么异同? 【提示】 向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.表示共线向量的有向线段可能在一条直线上,这是两向量共线与两直线平行的不同点. 问题10　我们将上述向量共线的充要条件称为向量共线定理.你能证明这个定理吗? 【提示】 事实上,对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义可知a与b共线. 反过来,若向量a与b共线,且向量b的长度是向量a的长度的倍,即|b|=|