热点专题01 一元二次方程（12个热点）-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题01一元二次方程（12个热点） 考点一、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 考点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点三、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点四、解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 考点五、一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 考点六、列一元二次方程解应用题的具体步骤 ①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案． 题型一 一元二次方程的概念 【例1】若是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．3或 【例2】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于的一元二次方程，则常数满足的条件是（    ） A． B． C． D．无法确定的值 【变式1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关于的方程中：，，，，， 其中，一元二次方程的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 一元二次方程的一般形式 【例3】若方程化为一般式后的二次项为，则一次项的系数为（   ） A． B． C． D． 【例4】一元二次方程化为一般形式是 ． 【变式2-1】将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为（    ） A．5， B．， C．5，3 D．，3 【变式2-2】将一元二次方程化为一般形式后，它的各项系数的和为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【变式2-3】把一元二次方程整理成一般形式为______． 题型三 一元二次方程的解 【例5】若是方程的一个根，则m的值是（    ） A．16 B． C． D．10 【例6】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【变式3-1】关于的方程的解是，（a、b、c均为常数，），则方程的解是 ． 【变式3-2】写出一个两个根分别为1和的一元二次方程 . 【变式3-3】已知m是方程式的一个实数根，求代数式的值． 题型四 解一元二次方程 【例7】解一元二次方程： (1)； (2)． 【例8】解方程： (1)；（用配方法） (2)；（用公式法） (3)．（用适当的方法） 【变式4-1】选择合适的方法解下列一元二次方程： (1) (2)． 【变式4-2】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式4-3】按要求解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 题型五 解一元二次方程（换元法) 【例9】已知一元二次方