第3章 不等式（十一大题型）【考点串讲PPT】-2023-2024学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学期中考点大串讲 思维导图 知识大全 考点精析 常用技巧或结论 第3章 不等式 思维导图 知识大全 1.两个实数比较大小的方法 作差法 a－b>0⇔a b， a－b＝0⇔a b， a－b<0⇔a b. (a，b∈R) > ＝ < 作商法 > 1⇔a b， ＝1⇔a b， < 1⇔a b. > ＝ < 知识大全 2.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么 ； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么 ； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . b＝a a＝c a±c＝b±c ac＝bc 知识大全 3.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 知识大全 4.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. a>0，b>0 a＝b 知识大全 5.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R). (2) ≥ (a，b同号). (3)ab≤ (a，b∈R). (4) ≥ (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2ab 2 知识大全 6.利用基本不等式求最值 （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 【例1】（2023·黑龙江佳木斯·高一校考期中）对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，若或，或显然无意义．故A选项错误； 对于B选项，若，则．故B选项错误； 对于C选项，因为，所以各项同时乘以得．故C正确； 对于D选项，因为，所以，所以， 所以， 即．因为根据题意不知道的符号， 所以无法满足同向可乘性的条件．故D错误． 故选：C． 题型一：用不等式的性质判断真假 典型例题 【对点训练1】（2023·黑龙江佳木斯·高一校考阶段练习）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知 ，即A错误，B正确； 若，即C、D错误． 故选：B 题型一：用不等式的性质判断真假 典型例题 【对点训练2】（2023·上海普陀·高一上海市宜川中学校考阶段练习）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A选项， 设，则，A错误； 对B选项，若，又，所以，故B正确； 对C选项，， 但，C错误； 对D选项，， 但，D错误． 故选：B． 题型一：用不等式的性质判断真假 典型例题 【例2】（2023·广西南宁·高一南宁三十六中校考阶段练习）解答下列问题 （1）设，，，比较与的大小； （2）已知，且，证明：． 【解析】 （1） ， 即，当且仅当，时，等号成立． （2）证明： ， ， ， ． 即， ． 题型二：证明不等式 典型例题 【对点训练3】（2023·福建龙岩·高一校考阶段练习）设，证明：． 【解析】 ， 又，， ∴， 而， ∴， 故，即． 题型二：证明不等式 典型例题 【对点训练4】（2023·全国·高一专题练习）设，比较与的大小 【解析】， ， ， ． 题型二：证明不等式 典型例题 【例3】（多选题）（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【解析】由， 两式相加得，即，故A正确； 由，得， 又，两式相加得， 即，故B正确；