4.3.1 等比数列的概念（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1 等比数列的概念（精讲） 考点一 等比数列基本量的运算 【例1-1】（2023秋广东潮州）在等比数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【例1-2】（2023春·高二课时练习）在各项均为负的等比数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)是否为该数列的项？若是，为第几项？ 【一隅三反】 1．（2023秋·云南）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． (5)若，，求； (6)若，，求和q； (7)若，，求. 2（2023·全国·高二课堂例题）已知等比数列的首项为，公比． (1)求； (2)判断18是否是这个数列中的项，如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由． 考点二 等比中项及其应用 【例2-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（    ） A．2 B． C． D． 【例2-3】（2023·全国·高二专题练习）等比数列的各项都为正数，且，则等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．30 【一隅三反】 1．（2022春·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D． 2．（2022秋·陕西西安·高二校考期中）若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（    ） A．5 B．﹣5 C． D．﹣10 3．（2022·高二课时练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为 A． B． C． D． 4．（2023·高二课时练习）（多选）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 灵活设元求解等比数列 【例3】（2023春·高二课时练习）设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列． 【一隅三反】 1．（2023春·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 2．（2022·高二课时练习）在与之间插入个数，使这个数成等比数列，求所插入的个数． 3．（2022·高二课时练习）已知数列是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项． 考点四 等比数列的判定 【例4-1】（2023春·浙江绍兴·高二校考期中）（多选）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2023秋·高二课时练习）已知数列满足：，． (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知等比数列 ，=1， ，则（     ）. A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列 C．数列 是等差数列 D．数列 是递增数列 2．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1，，，，． 3．（2023秋·高二课时练习）已知数列的递推公式为 (1)求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式. 考点五 等比数列的实际应用 【例6】（2023秋·高二课时练习）小张买了一辆价值10万元的新车，根据市场行情，该款车每年按20％的速度折旧． (1)用一个式子表示年后这辆车的价值； (2)如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大概能得多少钱？ 【一隅三反】 1．（2023·全国·高二专题练习）某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（    ） A．80万吨 B．90万吨 C．100万吨 D．120万吨 2．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从