第八章 8.6.3平面与平面垂直-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

8.6 空间直线、平面的垂直 课时14 平面与平面垂直(1) 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解二面角的有关概念,能根据二面角的平面角的定义找出或作出二面角的平面角 通过对二面角及其平面角的有关概念的学习和研究,培养直观想象和数学抽象等素养 了解平面与平面垂直的定义,探究、发现、归纳、总结出平面与平面垂直的判定定理 通过对平面与平面垂直的定义及判定定理的探究学习,培养数学抽象和逻辑推理等素养 掌握二面角的求法,能运用平面与平面垂直的定义和判定定理判断或证明两个平面垂直 通过求二面角的大小和对平面与平面垂直关系的判断或证明,培养直观想象和逻辑推理等素养 情境导学 如图①，修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；如图②，在公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度．如何从数学的角度认识这种现象？ 初探新知 【活动1】 掌握二面角的概念、画法和表示法 问题1 情境中水坝面与水平面、护坡斜面与水平面可以构成怎样的图形？ 问题2 如何用图形语言和符号语言表示二面角？ 任务1 理解二面角的概念及表示 初探新知 【活动2】 理解二面角的平面角的定义 问题5 怎样度量二面角的大小呢？ 问题4 “直线和平面所成的角”是怎样定义的？ 问题3 “异面直线所成的角”是怎样定义的？ 初探新知 问题8 观察教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？ 问题7 二面角的平面角必须满足什么条件？ 问题6 如何作出二面角的平面角？ 初探新知 【活动3】 了解平面与平面垂直的定义 问题9 当二面角的两个半平面垂直时，二面角的大小是多少？ 问题10 怎样定义平面与平面垂直呢？ 问题11 如何用图形语言和符号语言表示两个平面垂直？ 任务2 探究平面与平面垂直的定义及判定定理 初探新知 问题12 仔细观察：建筑工人在砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？ 【活动4】 探究平面与平面垂直的判定定理 初探新知 问题13 通过实例，如何判断两个平面垂直？ 问题14 如何用图形语言和符号语言表示两个平面垂直的判定定理？ 知识梳理 1. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 2. 平面与平面垂直的定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 3. 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直. 典例精析 【例1】如图，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 【思路点拨】 根据直线与平面垂直的定义,要证明平面ABC⊥平面SBC,只要证明二面角A⁃BC⁃S的大小为90°即可. 典例精析 【证明∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，设SB＝SC＝a，则SD＝a，BD＝＝ a.在Rt△ABD中，AD＝BD＝ a，在△ADS中，∵+ ＝ ，∴∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 【方法规律】 证明平面与平面垂直,可以根据直线与平面垂直的定义,证明两个平面相交所成的二面角是直二面角,其关键是找出或作出这个二面角的平面角,计算这个平面角的大小. 典例精析 【变式训练1】 [2021·安徽省滁州市高二月考改编题]若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,求证:平面PBC⊥平面ABC. 【证明】如图,取BC的中点O,连接OA,OP,∵△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,∴PO⊥BC,AO⊥BC,∴∠POA为二面角P⁃BC⁃A的平面角.∵OP=OA=,PA=, ∴PA2=OP2+OA2,∴△POA为直角三角形,并且∠POA=90°.∴二面角P⁃BC⁃A的大小为90°,∴平面PBC⊥平面ABC. 典例精析 【例2】 [2022·江苏省泰州中学高一阶段练习改编题]如图，棱柱ABC­的侧面BC是菱形， C⊥ B.求证：平面AC⊥平面B. 【思路点拨】 根据题目条件，容易证明B1C⊥平面A1BC1,而B1C⊂平面AB1C,则得平面AC⊥平面B. 典例精析 【证明】 ∵四边形BC是菱形，∴ C⊥B，又∵ C⊥ B，且B∩ B＝B，B， B⊂平面B，∴ C⊥平面B，又∵ C⊂平面AC，∴平面AC⊥平面B. 【方法规律】 证明平面与平面垂直,一种最基本的方法