第八章 8.6.1直线与直线垂直-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

8.6 空间直线、平面的垂直 课时11 直线与直线垂直 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解刻画异面直线位置关系的方法，理解异面直线所成角的概念 通过刻画异面直线的位置关系和探究异面直线所成角的概念,培养数学抽象及直观想象等素养 了解直线与直线垂直的概念,掌握判断和证明直线与直线垂直的方法 在研究有关空间直线与直线垂直问题的过程中,培养直观想象和逻辑推理等素养 能正确理解两条异面直线所成的角的概念,会求两条异面直线所成的角 在求异面直线所成的角的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 情境导学 1. 在生活中我们经常能看到如图1中的立交桥，虽然车很多，但交通还是很顺畅，这两条公路给我们什么印象？ 2. 在空间中你能用两支笔摆出几种位置关系？ 3. 日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系是什么？ 初探新知 【活动1】 探究异面直线所成角的刻画方法 问题1 如图2，在正方体ABCD-中，直线A和BC， 和BC它们都是异面关系，直线A和BC与和BC的位置有什么差异吗？ 问题2 如何刻画这种差异呢？ 任务1 探究异面直线所成的角 初探新知 问题3 类比两相交直线所成角，你能给出异面直线所成角的定义吗？ 问题4 如何用图形来表示异面直线a，b所成的角呢？ 问题6 你能确定异面直线所成的角的范围吗？ 问题5 两条异面直线所成的角可以是直角吗？此时如何定义它们的关系呢？ 初探新知 【活动2】 探究异面直线所成角的求法 问题7 如图4，在正方体ABCD-A1B1D1C1中，如何求异面直线与BC所成角的大小？ 问题8 如图4，在正方体ABCD-中，如何求异面直线A与BC所成角的大小？ 任务2 探讨异面直线所成角的求法 知识梳理 4. 异面直线所成角的求法 求异面直线所成的角，一般用平移法：① 作角；② 求角． 1. 异面直线所成角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2. 异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 3. 异面直线所成的角的范围：[0,] 典例精析 【例1】 [2021·上海市校级月考改编题]如图，在正方体ABCD-中，E，F分别是棱C与BC的中点，求直线EF与直线C所成的角的大小． 【思路点拨】 利用平行线，找到异面直线所成的角． 典例精析 【解】 如图，连接B， B，∵E，F分别是棱C，BC的中点，∴EF∥B.又∵ B∥ C，∴异面直线EF与C所成的角为∠ B(或其补角).连接，∵△ B为正三角形，∴∠ B＝60°，∴异面直线EF 与C所成的角为60°. 【方法规律】 求两异面直线所成的角的三个步骤： 一 作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三算：求角的值，常利用解三角形得出． 上述步骤可用“一作二证三计算”来概括．值得注意的是:两条异面直线所成角的范围是(0,π/2]. 典例精析 【变式训练1】 [教材改编题]如图，在正方体ABCD中，E，F，G，H分别为棱 A，AB，B， 的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A. 45°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120° 【解】如图，连接B，B， ，则B＝B＝ .∵E，F，G，H分别为棱A，AB，B， 的中点，∴EF∥ B，GH∥B，∴异面直线EF与GH所成的角为∠B，即为60°.故选B. B 典例精析 【例2】在正方体ABCD-中，已知E，F分别是棱的中点，求证： D⊥EF. 【思路点拨】 先找到异面直线D，EF所成角，然后证明该异面直线所成的角为直角． 典例精析 【解】 如图，连接， ，并设它们相交于点O，取D的中点G，连接OG， G， G，则OG∥ D，EF∥ ，∴∠GO(或其补角)为异面直线D与EF 所成的角．∵G＝G ，O为的中点，∴GO⊥ ，∴异面直线D与EF所成的角为90°，即D⊥EF. 【方法规律】 证明空间中的两异面直线垂直时，往往先作出(或找到)两异面直线所成的角，然后证明两直线所成的角为直角，在求解过程中将空间问题转化为平面问题． 典例精析 【变式训练2】如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若EG＝FH，求证：AC⊥BD. 【解】连接EF，FG，GH，HE.∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD，且EH＝BD.同理，FG∥BD，且FG＝ BD，∴FG ⊥ EH，则四边形EFGH为平行四边形．又∵EG＝FH，∴四边形EFGH为矩形，∴EH⊥EF.∵EH∥BD，EF∥AC，∴AC⊥BD. 典例精析 【例3】 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝