第七章 复数 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

第七章 小结与复习 知识网络·体系构建 主题归纳·综合提升 【主题1】 复数的概念及分类讨论思想的应用 【例1】 [2021•江苏省扬州市广陵区校级期中]已知m∈R，复数. (1) 当m为何值时，复数z为实数？ (2) 当m为何值时，复数z为虚数？ (3) 当m为何值时，复数z为纯虚数？ 思路点拨 (1) 若复数z为实数，则虚部为0，由此可求得m的值．　 (2) 若复数z为虚数，则虚部不为0，由此可求得m的值．　 (3) 若复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，由此可求得m的值． 主题归纳·综合提升 【解】 （1）要使复数z为实数，则虚部为0，即＝0，解得m＝6或m＝－3.∵当m＝－3时，实部没有意义，故m＝6. （2）要使复数z为虚数，则虚部不为0，即≠0，解得m≠－3且m≠6. （3）要使复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0，即， 解得m＝1或m＝－ .　 【变式训练1】 复数，当x为何实数时： (1) z∈R? (2) z为虚数？ (3) z为纯虚数？ 【解】 (1)要使复数z为实数，则其虚部为0，∴ 解得x＝4.∴当x＝4时，z∈R. (2) 要使复数z为虚数，则其虚部不等于0，∴， 解得， ∴3<x<4或x>4.∴当3<x<4或x>4时，z为虚数．　　 (3) 要使复数z为纯虚数，则其实部为0且虚部不为0，∴， 解得， 无解，∴复数z不可能是纯虚数． 【点评总结】 复数问题的求解，要注意紧扣相关的概念，根据概念将复数问题转化为实数问题来求解．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下该复数是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论． 【例2】 已知复数z＝()＋(－2－15)i. (1) 实数m取什么数值时，复数z与复数2－12i相等？ (2) 实数m取什么数值时，复数z与复数12＋16i互为共轭复数？ (3) 若m＝2，求复数z的模． 思路点拨 第(1)(2)小题，可利用两个复数相等的充要条件和共轭复数的概念，建立关于m的方程组，通过解方程组求出m的值；第(3)小题，运用复数模的概念直接计算即可． 【解】 （1）根据复数相等的充要条件得， 解得m＝-1. （2）根据共轭复数的定义得， 解得m＝1. （3）当m＝2时，i，所以|z|＝.　 【变式训练2】 已知复数z＝(m＋2)＋(3－2m)i. (1) 实数m取什么数值时，复数z与复数12＋17i互为共轭复数？ (2) 实数m取什么数值时，复数z的模取得最小值？求出此时的最小值． 【解】 根据共轭复数的定义得， 解得m＝10. ，当m＝ 时，复数的模取得最小值 . 【点评总结】 两个复数相等、复数的模和共轭复数也都是复数中的重要概念，是实现复数问题向实数问题转化的重要依据，在解决复数问题时有广泛的应用，在学习中需要高度重视． 【主题2】复数的运算及转化与化归思想的应用 【例3】 [2019·全国Ⅰ卷(文)]设，则|z|的值为(　　) A. 2　　B. 　　C. 　　D. 1 思路点拨 思路一：运用复数的除法，化复数为z＝a＋bi的形式，然后求模． 思路二：利用模的性质. C 【解】方法1：i，∴ 方法2： .故选C. 【变式训练3】 设复数z满足＝i，则|z|的值为(　　) A. 2　　B. 　　C. 　　D. 1 【解】 由＝i得1＋z＝i(1－z)，∴(1＋i)z＝－1＋i，∴|1＋i|·|z|＝|－1＋i|，∴|z|＝1.故选D. D 【点评总结】 转化与化归就是把已知条件转化为需要的形式．例3及变式训练3这类 题首先利用复数的运算法则将复数转化为z＝a＋bi的形式，然后利用 或直接运用复数的模的性质来计算，考查数学运算素养． 【例4】 [2021·河北省石家庄市期末]已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限 思路点拨 由化简得z＝i，然后根据共轭复数的定义，得到，再确定在复平面内对应的点所在的象限． C 【解】 ＝ ＝ ＝＝＝ i，∴ ＝ i， 对应点的坐标为，在第三象限．故选C. 【变式训练4】 已知ω＝i，求证： (1) (1－ω)(1－)(1－)(1－ )＝9； (2) (1－ω＋ )(1－ ＋ )＝4. 【证明】 （1）ω＝ i＝cos＋isin，则＝ ＝1，∴ (1－ω)(1－)(1－)(1－ )＝ (1－ω)(1－)(1－ω)(1－)＝ ＝ ＝ .∵ω＋＝(cos＋isin)＋ ＝－1，∴原式＝ ＝9，原式得证． （2）＝1，则(1－ω＋)(1－＋ )＝(1－ω＋ )(1－ ＋ω)＝1－ ＝1－＋2－＝3－(