第七章 7.3.1复数的三角表示式-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

7.3复数的三角表示 课时5 复数的三角表示式 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解复数三角表示式的推导过程,了解复数的三角表示式 在推导复数三角表示式的过程中,培养直观想象和逻辑推理等素养 理解复数的辐角和辐角主值的概念,会求复数的辐角和辐角主值 在求复数的辐角和辐角主值的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养 了解复数的代数形式与三角形式之间的关系,会进行两种形式之间的互化 在进行复数的两种表示形式互化的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 你听说过“数学中的天桥”公式吗？这便是欧拉公式：𝒆^𝒊𝒙＝cosx＋isinx，其中e是自然常数，i是虚数单位．之所以称其为天桥公式，是因为它把复数、指数函数、三角函数联系起来了，那么复数和三角函数之间是如何建立联系的？ 初探新知 【活动1】 类比向量的两个要素得到表示复数的要素，进而得到复数的三角表示式 问题1 你能用向量的模和表达向量方向的角θ来表示复数z吗？ 问题2 是复数的三角形式吗？并说出你的理由． 初探新知 【活动2】 进一步认识复数的三角表示式 问题3 结合已掌握的辐角的概念，思考一个复数的辐角的值有多少个．这些辐角之间有联系吗？ 问题4 若复数为0，它对应的向量为零向量，那么它的辐角是哪个角？ 问题5 复数辐角的多值性有时会给我们研究问题带来不便，为了使任意一个非0的复数都有唯一的值作为辐角的代表值，联系你学过的两向量所成角的范围，你认为这个代表值在哪个范围比较方便？ 问题6 根据以上的问题，请你思考三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么． 初探新知 问题7 复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？ 问题8 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．设z＝a＋bi(a，b∈R)，如何将z＝a＋bi(a，b∈R)转化为三角形式？ 【活动3】 寻找复数的三角形式和代数形式之间的联系，得到两种形式的互化公式 典例精析 【例1】 － ( )是不是复数的三角形式？如果不是，把它表示成三角形式． 【思路点拨】分析z＝r(cosθ＋isinθ)的结构，其中r>0，所以要变复数为正确的三角形式． 【解】 － ( )不是三角形式，因为r>0，它的模为1，辐角的主值为，所以其三角形式为 . 典例精析 【方法规律】 z＝r(cosθ＋isinθ)的结构要注意两点：一是复数的模为正数，二是虚数单位前对应的是辐角的正弦值．记清楚结构，对应结构来解决问题． 典例精析 【变式训练1】 －(cosθ＋isinθ)的三角形式为_____________________. 【解】 cos(π＋θ)＋isin(π＋θ) 典例精析 【例2】[教材改编题]把下列复数表示成三角形式： (1) i； (2) ＋i； (3) 1－i. 【思路点拨】依据复数的几何意义求出复数的模和复数的辐角，然后写出复数的三角形式． 【解】 (1) (2)∵r＝＝2，cosθ＝，sinθ＝，∴θ＝ ，即＋i＝2(cos＋isin). (3)∵r＝，cosθ＝，sinθ＝－，∴θ＝，即1－i＝(cos＋isin). 典例精析 【方法规律】 将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)(r≥0)时，r＝，cosθ＝，sinθ＝. 典例精析 【变式训练2】 将下列复数的代数形式化为三角形式： (1) 5； (2) －i. 【解】 (1)∵r＝5,cosθ＝1，sinθ＝0，∴θ＝0，即5＝5(cos0＋isin0). (2)∵r＝＝2，cosθ＝ ，sinθ＝－ ，∴θ＝ ，即－i＝2(cos ＋isin ). 典例精析 【例3】 [教材改编题]分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式： (1) 2(cos＋isin)； (2) cos ＋isin . 【思路点拨】 r(cosθ＋isinθ)的模为r，辐角的主值argz∈[0，2π). 【解】(1)2(cos ＋isin )的模为2，辐角的主值为，2(cos ＋isin )＝2(＋i )＝ ＋i.　 (2)cos ＋isin 的模为1，辐角的主值为＋2π＝ .cos ＝cos(－ ＝－sin ＝sin(－)＝ , sin＝－cos ＝－cos (－＝－ ,∴cos ＋isin ＝ － i. 典例精析 【方法规律】 将复数的三角形式化为代数形式，先计算对应的三角函数值，然后写出对应的代数形式．注意可将角转化为辐角的主值来求其正、余弦值． 典例精析 【变式训练3】 复数2[cos()＋isin ()] 的代数形式为________，其辐角的主值为________． 【解】cos()＝，sin() ＝，∴2[cos()＋isin()]＝ －i，其辐角的主值为 . －