第七章 7.2.2复数的乘、除运算-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

7.2复数的复数的乘、除运算 课时4 复数的乘、除运算 学习目标 课程目标 学科核心素养 类比多项式的乘法认识和理解复数的乘法运算法则和复数的乘法运算的运算律 在理解复数乘法运算的法则和运算律的过程中,培养数学抽象和逻辑推理等素养 理解复数的除法是乘法的逆运算,掌握复数的除法运算的运算法则 通过对复数除法的意义和运算法则的学习和理解,培养直观想象和数学抽象等素养 能正确地运用复数的乘法、除法的运算法则求解有关复数乘法和除法运算 在求解有关复数的乘法和除法运算问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 从前，有个富有冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一处宝藏．它是这样写的：乘船至北纬××，西经××，即可找到一座荒岛．岛的北岸有一大片草地，草地上有一棵橡树和一棵松树，还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的．从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走相同步数，在这里也打个桩．然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走那么多步，在这里也打个桩．在两个桩的正中间挖掘，就可找到宝藏．用复数的运算，你能求出宝藏的位置吗． 初探新知 【活动1】 类比多项式相乘法则认识复数的乘法法则 问题1 我们知道a，b，c，d∈R，(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd成立，依据数系扩充的规则，那么(a＋bi)(c＋di)如何计算？ 问题2 依据问题1中探究的结果，两个复数相乘与两个多项式相乘有哪些联系？ 问题3 复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？请你试着证明． 问题4 已知复数z＝a＋bi， ＝a－bi(a，b∈R).计算z． 初探新知 问题5 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请你试着探究复数除法的法则． 问题6 在实数范围内你如何计算？类比实数的运算，在复数集中如何计算 (a，b，c，d∈R)? 【活动2】 探究复数的除法法则 问题4 已知复数z＝a＋bi， ＝a－bi(a，b∈R).计算z． 典例精析 【例1】 [教材改编题]计算： (1) ； (2) (1＋i)(1－i)(3＋4i)(3－4i). 【思路点拨】根据复数的乘法法则以及乘法满足的运算律计算即可． 【解】 (1)方法1： ＝ ＝ (1＋i)＝2i(1＋i)＝－2＋2i. 方法2： ＝1＋3i＋3 ＋ ＝－2＋2i. (2)(1＋i)(1－i)·(3＋4i)(3－4i)＝[(1＋i)(1－i)][(3＋4i)(3－4i)]＝(1－ )(9－16 )＝2×25＝50. 典例精析 【方法规律】 1. 两复数相乘时，首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后进行复数的加、减运算，最后化为复数的代数形式． 2. 在实数范围内成立的平方差、立方差、立方和公式在复数集中依然成立． 典例精析 【变式训练1】计算： －(2－3i)(2＋3i). 【解】 －(2－3i)(2＋3i)＝－2i－(4－9 )＝－2i－4－9＝－13－2i. 典例精析 【例2】已知＝1－2i， ＝3＋4i，求满足＝ + 的复数z. 【思路点拨】利用复数的除法法则先算出+ ，然后算出z. 【解】 + = + + = + = , ∵ ＝ ，∴z＝ ＝ ＝ ＝2－ i. 典例精析 【方法规律】 进行两个复数的除法运算时： ① 将除式写成分式； ② 将分子、分母同乘分母的共轭复数； ③ 将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 典例精析 【变式训练2】 计算： ＝________． 【解】 = = = = -2+i -2+i 典例精析 【例3】 已知x＝－1＋i是方程＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根． (1) 求实数a，b的值； (2) 结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 【思路点拨】 (1) 将x＝－1＋i代入方程，利用复数相等求出a，b的值．　 (2) 结合韦达定理求出另外一根，并代入进行验证即可． 【解】(1) 把x＝－1＋i代入方程+𝒂𝒙+𝒃=𝟎 ，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴－a＋b＝0，a－2＝0， 解得a＝2，b＝2. 　 (2) 由(1)知方程为+𝟐𝒙+𝟐=𝟎.设另一个根为，由根与系数的关系，得－1＋i＋ ＝－2，∴ ＝－1－i.把 ＝－1－i代入方程+𝟐𝒙+𝟐=𝟎 ，则左边＝ ＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴ = -1-i 是方程的另一个根． 典例精析 【方法规律】 与复数有关的方程问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解，根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用． 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋