第六章 6.2.4向量的数量积-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.2 平面向量的运算 课时5 向量的数量积(1) 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解两个非零向量的夹角和两个向量垂直的定义,并会求两个非零向量的夹角 通过对向量的夹角和向量垂直的定义的学习,培养直观想象和数学抽象等素养 理解平面向量的数量积和投影向量的概念,会求一个向量在另一个向量上的投影向量 通过对向量的数量积和投影向量的概念学习,培养直观想象和逻辑推理等素养 掌握向量的数量积的基本性质,会求向量的数量积,能用数量积的处理长度、角度等问题 在运用向量数量积的定义和性质处理有关问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 如图1，大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ.该大力士所做的功是多少？ 图1 初探新知 【活动1】 探究两个非零向量的夹角和向量数量积的概念  问题1 为了研究向量的数量积,我们先要弄清楚两个非零向量的夹角的概念,那么什么是两个非零向量的夹角呢? 问题2 两个非零向量的夹角有哪些特殊情况?两个非零向量的夹角的取值范围是什么? 问题4 按照上述所说的乘法的结果还是向量吗? 问题3 在W=F·s=|F||s|中,从向量运算的角度,你想到了什么? 初探新知 问题5 你能给出更一般的情形的结论吗? 问题6 两个向量的数量积的结果还是向量吗?零向量与其他向量的数量积是什么呢? 初探新知 【活动2】 建立投影向量的概念 当θ分别为锐角、直角、钝角时，向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向之间有何关系？ 问题8 在数量积的定义中，怎样从几何上理解|a|cosθ？ 问题7 初探新知 【活动3】 探究向量数量积的基本性质 你能由向量数量积的定义得到向量数量积的哪些性质？ 问题9 两个非零向量的数量积的性质有哪些应用? 问题10 典例精析 【思路点拨】利用投影向量和数量积的定义直接计算． 【例1】[2022·黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一期末改编题]在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： （1）向量 在向量 上的投影向量及其模； （2） · ； · . 典例精析 【解】 (1) 易知 与 的夹角为60°，由投影向量的定义，向量 在向量上的投影向量为||·cos60°· ＝4× ×＝ ，其模为| ＝ ||＝2.　 (2) 因为在▱ABCD中， ∥，且方向相同，所以 与 的夹角是0°，所以 · ＝||||cos0°＝3×3×1＝9.　 (3) 因为与 的夹角为60°，所以 与的夹角为120°，所以 ·＝| || |cos120°＝4×3×（－ ）＝－6. 典例精析 【方法规律】 (1) 定义是解题的重要依据,求投影向量、向量的模和向量的数量积,其基本方法是直接运用投影向量、向量的模和向量的数量积的定义;(2) 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键. 典例精析 【变式训练1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 · 等于(　　) A. －16　　B. －8　　C. 8　　D. 16 D 【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以| |cosA＝| |，所以 · ＝| || |cosA＝| |2＝16.故选D. 典例精析 【思路点拨】(1) 由a⊥b，知 ⊥ ，得C为直角，故知△ABC为直角三角形．　 (2) 根据勾股定理，可得|c|＝ ＝ ＝5，从而可求出两锐角的余弦值，再利用向量数量积的运算求解． 【例2】在△ABC中， ＝a， ＝b， ＝c，并且|a|＝3，|b|＝4，a⊥b. (1) 判定△ABC的形状； (2) 求a·b＋b·c＋c·a的值． 典例精析 【解】 (1) 因为a⊥b，所以 ⊥ ，所以C为直角，故△ABC是以C为直角的直角三角形．　 (2) 在△ABC中，由题设条件和(1)，可得|c|＝ ＝ ＝5 ，于是，cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝0.故得a·b＋b·c＋c·a＝|a||b|(－cosC)＋|b||c|(－cosA)＋|c||a|(－cosB)＝0＋20×(－ )＋15×(－ ) ＝－25. 【方法规律】 两个向量的数量积由两个向量的模以及它们的夹角三个要素决定，因此准确地求出两向量的模和它们的夹角的余弦值是解题关键．特别是以三角形为背景的问题中，要准确把握三角形的内角与向量夹角的关系． 典例精析 【变式训练2】 在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则 · ＝________． -16 【解】 由AB＝4 ，于是 与 的夹角为是有 · ＝ 典例精析 【思路点拨