第六章 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.4 平面向量的应用 课时15 余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解测量的方法和意义,熟悉仰角、俯角、方向角等测量方面的常用术语 在了解测量的方法和意义,熟悉测量术语的过程中,培养直观想象和数学抽象等素养 能够运用余弦定理、正弦定理解决一些有关测量距离、高度和角度的实际问题 通过运用余弦定理、正弦定理解决生活实际中的测量问题,培养数学抽象和数学运算等素养 学会构造解三角形的数学模型,运用余弦定理和正弦定理解决实际问题 在构造解三角形模型解决实际问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 为了测量两个小岛之间的距离，侦察机沿水平方向在一条直线上进行测量(图1)，此直线与两个小岛在同一个铅垂平面内，请设计一个方案测量出两小岛之间的距离． 情境导学 如何把实际问题数学化？根据之前的学习，我们知道可以运用余弦定理和正弦定理求解有关三角形的边角．请你思考：运用余弦定理和正弦定理求解有关三角形的边角需要几个条件？这个实际问题如何运用余弦定理、正弦定理求解？ 初探新知 【活动1】 探究用余弦定理、正弦定理解决两点不可到达的距离问题 问题1 根据我们的经验，可以通过构造三角形计算出A，B两点间的距离．该如何构建三角形？哪些量是可测的？哪些量是可算的？ 问题2 在上述测量方案下，还有其他计算AB的方法吗？ 初探新知 【活动2】 运用余弦定理、正弦定理解决不可到达的高度问题 问题4 在实际操作时，B，C，D三点共线不是一件容易的事情．你有其他方法吗？ 问题3 如图3所示的角楼因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量它的高度．为了确定测量方案，你会如何确定三角形？ 初探新知 【活动3】 运用余弦定理、正弦定理解决求角度问题 问题5 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为 (－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．则C船与B船相距多少n mile？C船在B船的什么方向？ 初探新知 问题6 缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 典例精析 【思路点拨】明确在△ABC中要求得AB，三个角中有且只有∠ACB是可知的，因此需要算出边AC和边BC. 【例1】 [教材改编题]如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，测量者在河岸边选定两点C，D，测得CD＝3 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离． 典例精析 【解】 易知是等边三角形，则AC=3在中，∠BDC=180°-60°-45°-30°=45°， 由正弦定理有 =,解得BC=,在中， 由余弦定理的AB==,则A,B两点间的距离为km。 典例精析 【方法规律】 本题是利用余弦定理与正弦定理解决实际应用问题，要认真读题，正确理解题意，将实际问题转化为解三角形模型问题，通过解三角形解决实际问题． 典例精析 80 【变式训练1】[2020·甘肃省天水市第一中学期末]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________m. 典例精析 【解】 如图，在中，∠DCA=15°，所以∠CAD=15°,由正弦定理得 AC===40(); 在中，∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°.由正弦定理得BC===160sin15°=40(). 在中，由余弦定理，得++2()=1600解得AB=80,则两目标A,B间的距离为80m。 典例精析 【思路点拨】明确相关术语，立体图内三角形求边角的处理方法和平面图一致． 【例2】某地要测量一座塔CD的高度，测量人员在该塔的底部所在的东西方向水平线上选了A,B两个观测点，在A处测得该水塔顶端C的仰角为，在B处测得该水塔顶端C的仰角为，已知AB=m，求水塔CD的高度。 典例精析 【解】 由题意得∠ACD=，∠ACB=.在中, 根据正弦定理，=,即=,故AC=， 在Rt中，CD=ACsin=.故水塔CD的高度为 典例精析 【方法规律】 在运用余弦定理、正弦定理解决实际问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 典例精析 【变式训练2】[2021·江西省兴国第三中学高一月考改编题]如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C处测得塔顶A的仰角是