第六章 6.4.3.2正弦定理-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.4 平面向量的应用 课时14 余弦定理、正弦定理——正弦定理 学习目标 课程目标 学科核心素养 通过类比直角三角形中边与角的关系,探究一般三角形的边角关系,得出正弦定理 在归纳、发现正弦定理的过程中,培养数学抽象和逻辑推理等素养 能运用不同的方法证明正弦定理,理解正弦定理及其推论的本质特征 在运用不同方法证明正弦定理的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 学会根据问题的条件,灵活地运用正弦定理及其推论求解有关解三角形的问题 在运用正弦定理及其推论解三角形的过程中,培养数学运算和数学建模等素养 情境导学 关系,那么从量化的角度,三角形的边、角有什么关系呢?14世纪,数学家热尔松在其著作《正弦、弦与弧》中大胆地猜想所有的三角形都满足一个边、角的关系:在一切三角形中,一条边与另我们初中学过“等边对等角,大边对大角,小边对小角”,它从定性的角度研究了边、角的一条边之比等于其对角的正弦之比. 你能证明在直角三角形中,满足一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比的关系吗?你能帮助热尔松证明此关系对于一切三角形都成立吗? 初探新知 【活动1】 猜想和发现三角形中的正弦定理 问题1 在Rt△ABC中，C＝90°，满足一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比的关系吗？ 问题2 猜想在一般三角形中，边、角关系是否满足上述结论？ 初探新知 问题3 可以用怎样的思路证明这一猜想呢？ 问题4 数量积运算中出现的是角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 问题5 j与的夹角为多少？j与的夹角呢？j与的夹角呢？ 初探新知 问题6 在上述条件下如何证明＝＝. 问题7 如果△ABC是钝角三角形，上述的结论还成立吗？该如何证明？ 问题8 从上面的探究中,你能得出怎样的结论? 初探新知 【活动2】 明晰正弦定理的适用条件 问题10 正弦定理有几种表达形式？ 问题9 什么样的已知条件可以运用正弦定理？ 问题11 你能知道上面的比值k的几何意义是什么吗? 初探新知 【活动3】 学会三角形面积的表示法 问题12 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积呢？ 典例精析 【思路点拨】分析条件，已知两角及一边可以用正弦定理解三角形． 【例1】[教材改编题]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知B＝，C＝，a＝＋1，求边b，c的值． 典例精析 【解】 因为B＝，C＝，∴A＝π－(B＋C)＝π－－＝.因为＝＝，所以＝＝.又因为sin＝sin()＝sincos＋cossin＝×＋×＝＋，sin＝，sin＝，解得b＝，c＝2. 典例精析 【方法规律】 已知两角及一边解三角形的方法： 1. 若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． 2. 若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． 典例精析 【变式训练1】在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________． 【解】 因为tanA＝，0<A<180°，所以sinA＝.又因为C＝150°，BC＝1，所以由正弦定理知AB＝＝ . 典例精析 【思路点拨】已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理求解． 【例2】[教材改编题]△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝2，c＝，C＝，则a＝________． 【解】 根据正弦定理得sinB＝＝，因为大边对大角，b>c，所以π>B>，因此B可能是钝角也可能是锐角，则cosB＝±.即有sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×±×＝，再由正弦定理可得a＝sinA＝×＝±. 典例精析 【方法规律】 已知两边及一边的对角，若用正弦定理需要判断是否存在多解的情况，用几何法更为直观和便捷． 典例精析 【变式训练2】[教材改编题]△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2，a＝4，A＝，则满足条件的三角形有________个． 【解】 因为c＝2，a＝4，A＝，由正弦定理可得，所以sinC＝＝＝.因为a>c，所以A>C，故C只能为锐角，满足条件的三角形有1个． 典例精析 【思路点拨】见“ccosB+bcosC=asinA”结构一般边化角用正弦定理,见“) +-” 用面积公式和余弦定理. 【例3】[2022·辽宁省沈阳市高一期末]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若ccosB+bcosC=asinA,S=(+-),则B=　　　　. 典例精析 【解】 ∵ccosB+bcosC=asinA,由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A,∵sin