第六章 6.4.3.1余弦定理-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.4 平面向量的应用 课时13 余弦定理 学习目标 课程目标 学科核心素养 经历余弦定理的推导过程,体会向量的工具性作用,加深对向量运算的理解 在运用向量方法探究余弦定理的过程中,培养数学抽象及逻辑推理等素养 理解解三角形的概念,掌握余弦定理在解三角形中的两类应用 在学习解三角形的概念和余弦定理的两类应用的过程中,培养直观想象和数学抽象等素养 运用余弦定理在已知两边及其夹角或已知三边的条件下求出三角形的其他元素 在运用余弦定理求解两类解三角形的问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 勾股定理是一个重要的、基本的几何定理，有多种证明方法．我国古代数学家赵爽用了弦图(如图1)证明勾股定理．我们在现阶段的学习中已经体会到平面几何中的许多问题都可以用向量法加以解决，那么如何用向量法证明勾股定理呢？ 初探新知 问题1 利用勾股定理,在直角三角形中已知两边可以直接求出第三边.那么在一般三角形中已知两边和夹角,也可以求出第三边吗?假设在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c? 问题2 那么怎样用b,c和A表示a?以及用a,c和B表示b呢? 【活动1】 探究余弦定理的向量证明和结构特点  问题3 你能用文字语言阐述上述结论吗? 初探新知 【活动2】 探究余弦定理的其他证明 问题4 你能用其他方法证明余弦定理吗? 问题5 还有其他证明方法吗? 问题6 已知三角形三条边长,如何求角呢? 问题7 你觉得余弦定理及其推论与“SAS”和“SSS”判定三角形全等有什么关系? 问题8 余弦定理与勾股定理又有什么关系? 初探新知 【活动3】 明确解三角形的意义,探究余弦定理在解三角形中的应用 问题9 在初中,我们学习过解直角三角形.一般地,什么是解三角形呢? 问题10 在三角形中,至少要知道几个元素,才能解出这个三角形. 根据余弦定理的结构特征,你认为在哪几种情况下,可以运用余弦定理解出这个三角形? 问题11 典例精析 【思路点拨】分析条件，已知两边一夹角可以用余弦定理，求完c后继续判断已知三边可以用余弦定理的推论求角． 【例1】 [教材改编题]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，C＝，求角B，A和边c的值． 典例精析 【方法规律】 解三角形时需要判断条件从而合理选择公式,已知两边及其夹角,可以直接运用余弦定理求解. 【解】 因为＝＋－2abcosC，代入条件可得c＝.因为cosB＝，代入条件可得cosB＝0，B＝，所以A＝π－C－B＝π－－＝. 典例精析 【变式训练1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝7，b＝8， sinC＝，C是锐角，求B的余弦值． 【解】 因为C是锐角，所以cosC＝， ＝＋－2abcosC＝49＋64－2×7×8×＝9，c＝3， 所以cosB＝=-. 典例精析 【思路点拨】根据余弦定理及其推论，a∶b∶c的比值确定则对应角的余弦值也确定．根据初中学过的大边对大角原理，可以确定最大内角即为边b对应的角B.然后利用余弦定理推论计算即可． 【例2】[教材改编题]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若a∶b∶c＝2∶4∶3，求△ABC中最大内角的余弦值． 典例精析 【方法规律】 已知三角形三边的长或三边长的比,求角,常用余弦定理的推论.在已知三边长的比的情况下,只要设出比值k,就可以运用余弦定理的推论求出三个内角的大小. 【解】 因为a∶b∶c＝2∶4∶3， 所以边b为最长边，根据大边对大角原理，B为最大内角． 所以最大内角对应的余弦值cosB＝=- 典例精析 【变式训练2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 已知a∶b∶c＝2∶1∶3，则△ABC为________三角形．(填“锐角”“直角”或者“钝角”) 钝角 【解】 已知a∶b∶c＝2∶1∶3，则a>c>b.因此先判断A是否为钝角，cosA＝<0，所以A>，所以△ABC是钝角三角形 典例精析 【思路点拨】见“切”要化“弦”;出现三角形内三个角要进行转化,已知边求边要借助角. 【例3】[2022·吉林省长春市高一期末]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanB=,a<b. (1) 求角B的大小; (2) 若边a=4,c=6,D为AC边的中点,求线段BD长. 典例精析 【方法规律】 在三角形中,有两种情形可以运用余弦定理及其推论来解这个三角形:一是已知两边及其夹角,二是已知三边.已知两边及其夹角,常用余弦定理;已知三边,常用余弦定理的推论. 【解】 (1) 因为tanB=,所以=,所以cosBcosC-2cosBcosA=sinBsinC,cosBcosC-2cosBc